Wenn Dimension zweier Vektorräume gleich, existiert ein Vektorraumisomorphismus. Wie beweisen?

Question

Aufgabe:

\(V, W\) endlich dimensionale K-Vektorräume (\(K\) Körper). Gilt \( \dim_K V = \dim_K W \), so existiert ein Vektorraumisomorphismus

\(\Phi : V \to W \)

Problem/Ansatz:

An sich ist das eine relativ einfache Aufgabe mit klarem Sachverhalt aber mir fehlt leider jegliche Idee wie ich das beweisen kann... Wie würde so ein Beweis aussehen? Was muss ich machen um ans Ziel zu kommen? Im Prinzip ist ja eine Implikation zu zeigen oder?

Dimension Gleich \(\Rightarrow\) Vektorraumisomorphismus

Answer 1

Sei \(n=\dim V = \dim W\). Dann gibt es Basen

\((v_1,\cdots, v_n)\) von \(V\) und \((w_1,\cdots,w_n)\) von \(W\).

Die Abbildung \(\Phi:V\rightarrow W, v=\sum_{i=1}^nc_iv_i\mapsto \sum_{i=1}^nc_iw_i\)

ist dann ein Isomorphismus, dessen darstellende Matrix bzgl. der beiden

Basen die Einheitsmatrix ist.

Comments

Vielen Dank!