0 Daumen
518 Aufrufe

Aufgabe:

Seien V und W K-Vektorräume, und sei V∗ := Hom(V, K) der Dualraum von V . Bestimmen Sie einen Vektorraumisomorphismus       F: V∗ ⊗ W →Hom(V,W).


Problem/Ansatz:

Ein Hinweis sagt, dass man dies mit der universellen Eigenschaft des Tensorprodukts lösen kann/soll. Ich kann hier allerdings nichts damit anfangen. :(

Ich bin froh über jede Hilfe

von

Ist V wirklich nicht als endlich dimensional vorausgesetzt?

Es wird zumindest nicht explizit in der Aufgabenstellung erwähnt

Stimmt, ist keine Voraussetzung in der Aufgabe.


Was wäre denn anders, wenn es vorausgesetzt ist?

Das ist natürlich gemein, denn für unendlich dimensionale V ist die Aussage falsch.

Nehmen wir dann an, es wäre vorausgesetzt, dass V endlich dimensional ist.

Kannst du mir dann bei der Aufgabe helfen?

1 Antwort

0 Daumen

Universelle Eigenschaft:

Seien V, W, T K-Vektorräume. T heißt ein Tensorprodukt von V und W, falls es eine bilineare Abbildung $$ \phi : V \times W \to T $$ gibt, s.d. für alle bilineare Abbildungen \( \psi : V \times W \to X \) in einen K-VR X gilt:

Es existiert genau eine lineare Abbildung \( \tilde \psi : T \to X \) mit \( \psi = \tilde \psi \circ \phi \).

Jetzt zu eurer Frage:

V* und W sind gegeben, das Tensorprodukt ist \( V^* \otimes W \), die zugehörige Abbildung

$$ \phi : V^* \times W \to V^*\otimes W, (\varphi, w) \mapsto \varphi \otimes w$$

Wir möchten im ersten Schritt eine lineare Abbildung \( \Psi : V^* \otimes W \to \operatorname{Hom}(V,W) \) finden, um einen Kandidaten für den Isomorphismus zu haben. Nach der UE reicht es aber einfach eine bilineare Abb. \( \Psi : V^* \times W \to \operatorname{Hom}(V,W) \) anzugeben. Seien \( \varphi \in V^* \), d.h. \( \varphi : V \to K \) linear, und \( w \in W \). Es soll $$ \Psi(\varphi, w) \in \operatorname{Hom}(V,W) $$ gelten: $$ \Psi(\varphi, w) : v \mapsto \dotsm ? $$Was macht man jetzt mit diesem v? Man kann es in \( \varphi \) einsetzen, dann kommt ein Skalar raus:$$ \Psi(\varphi, w) : v \mapsto \varphi(v) \dotsm ? $$ Das v ist also erst einmal sinnvoll beseitigt, aber wir landen noch nicht in W, dass kann man aber leicht ändern wenn man noch den Vektor w verwendet:$$ \Psi(\varphi, w) : v \mapsto \varphi(v) \cdot w $$ Solche Abbildungen schreiben sich oft irgendwie natürlich auf. Jetzt muss man nur noch zeigen, dass diese Abbildung auch bilinear ist. Dann bekommt man mit der UE die lineare Abbildung $$ \Psi : V^* \otimes W \to \operatorname{Hom}(V,W), \varphi \otimes w \mapsto (v \mapsto \varphi(v)\cdot w) $$

Nächster Schritt ist die Bijektivität. Wir konstruieren eine Umkehrabbildung: $$ \Phi : \operatorname{Hom}(V,W) \to V^* \otimes W, \varphi \mapsto ? $$ Am besten bildet man immer auf die Summe von Elementartensoren ab, da kann nichts schief gehen $$ \Phi : \operatorname{Hom}(V,W) \to V^* \otimes W, \varphi \mapsto \sum ? \otimes ?? $$ Die zweite Komponente muss in W liegen, \( \varphi \) bildet nach W ab, also muss man da bestimmt was einsetzen $$ \Phi : \operatorname{Hom}(V,W) \to V^* \otimes W, \varphi \mapsto \sum ? \otimes \varphi(??) $$

Und jetzt wird es etwas knifflig, wir betreiben reverse engineering. Wenn man diese Summe wieder in \( \Psi \) einsetzt soll \( \varphi \) rauskommen: $$ \Psi\left( \sum ? \otimes \varphi(??) \right) = \sum \Psi ( ? \otimes \varphi(??) ) \stackrel{!}{=} \varphi $$

Setzen wir da mal einen Vektor v ein, $$ \left[ \sum \Psi ( ? \otimes \varphi(??) ) \right](v) = \sum ?(v) \cdot \varphi(??) $$

Wir wählen uns jetzt mal eine Basis \( (v_i ) \) von V, und \( v = \sum \lambda_i v_i \), dann gilt

$$ \varphi(v) = \sum \lambda_i \varphi(v_i) $$

Und jetzt sieht man den weiteren Weg \( ?(v) \widehat = \lambda_i \), \( \varphi(??) \widehat = \varphi(v_i) \).

Da V endlich dimensional ist existiert zu \( (v_i) \) eine duale Basis \( (v_i^*) \) von V* angeben, und die hat genau die schöne Eigenschaft, dass \( v_i^*(v) = \lambda_i \). Also definiert man das \( \Phi \) so:

$$\Phi : \operatorname{Hom}(V,W) \to V^* \otimes W, \varphi \mapsto \sum_i v_i^* \otimes \varphi(v_i) $$

Jetzt muss man nur noch zeigen, dass \( \Phi \) linear ist, \( \Psi \circ \Phi = \operatorname{id}_{\operatorname{Hom}(V,W)}  \) und \( \Phi \circ \Psi = \operatorname{id}_{V^*\otimes W} \). Das ist aber nicht so schwer.

von 1,3 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community