Aufgabe:
Es seien \( K \)-Vektorräume \( V, W \) und \( U \) gegeben. Zeigen Sie:
(a) Sind \( f: V \rightarrow W \) und \( g: U \rightarrow V \) Isomorphismen, so ist \( f \circ g: U \rightarrow W \) ebenfalls ein Isomorphismus.
(b) Ist \( f: V \rightarrow W \) ein Isomorphismus, so ist die Umkehrabbildung \( f^{-1}: W \rightarrow V \) (wie sie bei Mengenabbildungen definiert wurde) \( K \)-linear und ein Isomorphismus.
(c) Eine \( K \)-lineare Abbildung \( f: V \rightarrow W \) ist genau dann ein Isomorphismus, wenn es ein \( K \)-lineares \( g: W \rightarrow V \) gibt mit \( f \circ g=\operatorname{id}_{W} \) und \( g \circ f=\operatorname{id}_{V} \).
(d) Ist \( \mathcal{M} \) eine Menge von Vektorräumen über dem Körper \( K \), so ist die Relation " \( \simeq \) " (Isomorphie von \( K \)-Vektorräumen) eine Äquivalenzrelation auf \( \mathcal{M} \).
Hey, liebe Mathelounge Community, ich bräuchte mal eure Hilfe.
Kann mir, wer bitte zeigen, wie ich die Aufgaben lösen könnte.
LG
