Aloha :)
$$\vec v=\begin{pmatrix}2xy+y^2\\2xy+y^2\end{pmatrix}\quad;\quad C\colon\;\binom{-1}{-1}\to\binom{-1}{2}\to\binom{1}{2}$$
Das Kurvenintegral entlang des Weges \(C\) besteht aus 2 Etappen:$$E=\int\limits_{(-1;-1)}^{(-1;2)}\vec v\,d\vec r+\int\limits_{(-1;2)}^{(1;2)}\vec v\,d\vec r=\int\limits_{(-1;-1)}^{(-1;2)}\binom{2xy+y^2}{2xy+y^2}\binom{dx}{dy}+\int\limits_{(-1;2)}^{(1;2)}\binom{2xy+y^2}{2xy+y^2}\binom{dx}{dy}$$
Jetzt schau dir mal bitte die Integrationsgrenzen genauer an. Im ersten Integral ändert sich die \(x\)-Koordinate gar nicht, d.h. \(dx=0\), und sie ist konstant bei \(x=-1\). Im zweiten Integral ändert sich die \(y\)-Koordinate nicht, d.h. \(dy=0\), und sie ist konstant bei \(y=2\). Damit vereinfachen sich beide Integrale:
$$E=\int\limits_{-1}^2\binom{-2y+y^2}{-2y+y^2}\binom{0}{dy}+\int\limits_{-1}^1\binom{4x+4}{4x+4}\binom{dx}{0}=\int\limits_{-1}^2(y^2-2y)dy+\int\limits_{-1}^1(4x+4)dx$$$$\phantom{E}=\left[\frac{y^3}{3}-y^2\right]_{-1}^2+\left[(2x^2+4x\right]_{-1}^1=-\frac43+\frac43+6+2=8$$
