Kurvenintegral Punkte gegeben

Question

Aufgabe:

Hallo!
Ich soll ein Kurvenintegral des Vektors V=(2xy+y²,2xy+y²) entlang der Punkte des Weges P1(-1,-1), p2(-1,2), P3(1,2) Berechnen.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe Kurvenintegrale in expliziter Form grundsätzlich kaum. Mein Ansatz wäre gewesen Von P1 zu P2 zu integriegen und dann von p2 zu P3.
Mehr weiß ich leider auch nicht.
Über einen Link mit einer guten Erklärung würd ich mich auch sehr freuen.
Danke schon einmal im Voraus.
Lg Han

Comments

Über einen Link mit einer guten Erklärung würd ich mich auch sehr freuen.

Ich empfehle Dein Skript, hilfsweise Wikipedia

entlang der Punkte des Weges

Da gibt es unendlich viele Wege. Wenn tatsächlich nichts weiter gesagt, ist wahrscheinlich gemeint: Strecke von P1 nach P2 und dann die Strecke von P2 nach P3.

Weißt Du, wie die Parameterdarstellung für eine Gerade im R² durch 2 gegebene Punkte aussieht, und wie dann die Darstellung für die Strecke zwischen diesen Punkten ist?

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Nein, würde jetzt nicht wissen wie. Kannst du mir es vielleicht zeigen?
Danke!

Answer 1

Aloha :)

$$\vec v=\begin{pmatrix}2xy+y^2\\2xy+y^2\end{pmatrix}\quad;\quad C\colon\;\binom{-1}{-1}\to\binom{-1}{2}\to\binom{1}{2}$$

Das Kurvenintegral entlang des Weges $C$ besteht aus 2 Etappen:$$E=\int\limits_{(-1;-1)}^{(-1;2)}\vec v\,d\vec r+\int\limits_{(-1;2)}^{(1;2)}\vec v\,d\vec r=\int\limits_{(-1;-1)}^{(-1;2)}\binom{2xy+y^2}{2xy+y^2}\binom{dx}{dy}+\int\limits_{(-1;2)}^{(1;2)}\binom{2xy+y^2}{2xy+y^2}\binom{dx}{dy}$$

Jetzt schau dir mal bitte die Integrationsgrenzen genauer an. Im ersten Integral ändert sich die $x$-Koordinate gar nicht, d.h. $dx=0$, und sie ist konstant bei $x=-1$. Im zweiten Integral ändert sich die $y$-Koordinate nicht, d.h. $dy=0$, und sie ist konstant bei $y=2$. Damit vereinfachen sich beide Integrale:

$$E=\int\limits_{-1}^2\binom{-2y+y^2}{-2y+y^2}\binom{0}{dy}+\int\limits_{-1}^1\binom{4x+4}{4x+4}\binom{dx}{0}=\int\limits_{-1}^2(y^2-2y)dy+\int\limits_{-1}^1(4x+4)dx$$$$\phantom{E}=\left[\frac{y^3}{3}-y^2\right]_{-1}^2+\left[(2x^2+4x\right]_{-1}^1=-\frac43+\frac43+6+2=8$$

Comments

Entschuldige mein verspätetes Dankeschön!

Answer 2

Hallo
von (-1,-1) nach (-1,2) kommst du mit der Kurve k(t)=(-1,-1+t)^T mit t von 0 bis 3
kannst du jetzt  k(t) von (-1,2) nach (1,2)  finden?
dann k(t) in f(x,y) einsetzen und f(k(t)*k'(t)dt integrieren natürlich 2 integrale für die 2 Wege und die addieren.
Gruß lul