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Aufgabe:

Hallo, ich sitze gerade eine einer Aufgabe, jedoch verstehe ich die Aufgabenstellung nicht wirklich und somit stellt sich das Lösen dieser Aufgabe als schwierig heraus.

Bezeichne V den reellen Vektorraum R[X] und M ⊂ R eine Menge mit d Elementen. Seien
U1:= { f ∈ R[X] | ∀m ∈ M : f(m) = 0},

U2 := { f ∈ R[X] | deg(f) ≤ d − 1} zwei Untervektorräume von V und weiter Φ: V → Abb(M, R) die durch Φ(f)(m) := f(m) gegebene lineare Abbildung.
a) Zeigen Sie, dass Φ|U2
: U2 → Abb(M, R) ein Vektorraum-Isomorphismus ist.
b) Folgern Sie mit dem Homomorphiesatz, dass auch gilt: V/U1
∼= Abb(M, R).
c) Folgern Sie, dass U2 ein Komplement von U1 ist.


Problem/Ansatz:

Mir ist die Bedeutung der Untervektorräume klar, jedoch versehe ich den letzten Teil nicht

(weiter Φ: V → Abb(M, R) die durch Φ(f)(m) := f(m) gegebene
lineare Abbildung.)
. Wenn mir jemand helfen könnte wäre ich sehr dankbar.

von

1 Antwort

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V ist ja der Vektorraum aller Polynome mit reellen Koeffizienten.

und M ist eine Menge reeller Zahlen mit d Elementen.

Φ: V → Abb(M, R) ist die durch Φ(f)(m) := f(m) gegebene
lineare Abbildung.

Das heißt: Jedem Polynom f wird eine Abbildung

Φ(f) : M → ℝ zugeordnet, die dadurch bestimmt ist,

dass jedes m ∈ M bei dem Polynom f eingesetzt wird.

Wenn nun f ein Polynom aus U1 ist, dann gilt

ja für alle m∈M die Bedingung f(m)=0 , also

hat das Polynom f dann d (so viele Elemente hat M)

verschiedene Nullstellen. Also kann f nicht in U2 sein,

denn reelle Polynome vom Grad ≤ d − 1 haben

höchstens d-1 Nullstellen.

von 251 k 🚀

Du hast vergessen, das Null-Polynom als Ausnahme zu erwähnen.

Wie könnte man die Surjektivität in a) zeigen?

Ich nehme an man muss für alle f in Abb(M,R) zeigen, dass deg(f) <= d-1 ist?

Das kann ja nicht stimmen. So wie es da steht ist es ja so, dass es

für alle Abbildungen f:M→ℝ ein Element von p ∈ U2 ,

also ein Polynom mit Grad < d geben muss, dass Φ(p)=f gilt.

Und Φ(p)=f bedeutet ja, dass für alle m∈M gelten muss

   Φ(p)(m)=f(m) also in Worten

zu jeder Abb. f von M nach ℝ gibt es ein Polynom vom Grad < d,

das bei allen m∈M den gleichen Funktionswert hat wie f.

Durch f sind also quasi d Punkte

(m1,f(m1) , (m2,f(m2) , ... , (md, f(md) )

vorgegeben und durch diese

muss man den Graphen einer Polynomfunktion mit Grad < d

legen. Und so ein Polynom gibt es doch immer. siehe:

https://de.wikipedia.org/wiki/Polynominterpolation#Lagrangesche_Interpolationsformel

Wie würden Sie die c) folgern?

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