Aloha :)
Wir brauchen zunächst ein paar Ableitungen:$$f(x)=x^{1/2}\;;\;f'(x)=\frac12x^{-1/2}\;;\;f''(x)=-\frac14x^{-3/2}\;;\;f'''(x)=\frac38x^{-5/2}\;;\;f''''(x)=-\frac{15}{16}x^{-7/2}$$Damit schreiben wir die Taylor-Entwicklung auf:$$f(x)\approx f(1)+f'(1)\cdot(x-1)+\frac1{2!}f''(1)\cdot(x-1)^2+\frac1{3!}f'''(1)\cdot(x-1)^3$$Der Fehler ist nach Lagrange:$$\Delta f(x)=\operatorname{max}_{\eta\in[1;x]}\left|\frac{1}{4!}f''''(\eta)\cdot(x-1)^4\right|=\operatorname{max}_{\eta\in[1;x]}\left|\frac{15}{24\cdot16}\frac{1}{\eta^{7/2}}\cdot(x-1)^4\right|$$
Wir setzen die Ableitungen in die Taylor-Entwicklung ein und finden:$$f(x)\approx1+\frac12(x-1)-\frac18(x-1)^2+\frac{1}{16}(x-1)^3\quad;\quad\Delta f(x)=\frac{5}{128}(x-1)^4$$Der Fehler gilt nur für \(x\ge1\), da wir das Maximum mit \(\eta=1\) abgeschätzt haben.
Setzen wir nun \(x=1,15\) ein, finden wir:$$\sqrt{1,15}\approx1,072398\quad;\quad\Delta\left(\sqrt{1,15}\right)=0,000020$$
