Bestimmen Sie das Taylorpolynom 2. Grades

Question

Aufgabe:

(a) Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\mathrm{e}^{\cos (x)} \) gegeben. Bestimmen Sie das Taylorpolynom 2. Grades \( T_{2} f\left(x, \frac{\pi}{2}\right) \) von \( f \) im Entwicklungspunkt \( \frac{\pi}{2} \) und zeigen Sie
\( \left|f(x)-T_{2} f\left(x, \frac{\pi}{2}\right)\right| \leq 2 \cdot 10^{-3} \quad \text { für } \quad x \in\left[\frac{\pi}{2}-\frac{1}{10}, \frac{\pi}{2}+\frac{1}{10}\right] \text {. } \)
(b) Zeigen Sie die Abschätzung
\( \cos (x) \leq 1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24} \quad \text { für } \quad x \in[-\pi, \pi] \)
Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Taylor.

Problem/Ansatz:

Ich komme mit beiden Aufgaben nicht klar. Ich verstehe auch nicht, wie man das Taylorpolynom anwenden soll. Ich wäre dankbar für jede Hilfe.

Beste Grüße

Answer 1

a)   \( T_{2} f\left(x, \frac{\pi}{2}\right) = f(\frac{\pi}{2})  + f'(\frac{\pi}{2}) (x-\frac{\pi}{2})  + 0,5f''(\frac{\pi}{2}) (x-\frac{\pi}{2})^2 \)

\(  = 1 + (-1) (x-\frac{\pi}{2})  + 0,5 \cdot 1  \cdot (x-\frac{\pi}{2})^2 \)

\(\left|f(x)-T_{2} f\left(x, \frac{\pi}{2}\right)\right| \leq | \frac{f'''(z)}{6}(x-\frac{\pi}{2} )^3| \)

mit \( z \in\left[\frac{\pi}{2}-\frac{1}{10}, \frac{\pi}{2}+\frac{1}{10}\right] \text {. } \)

Nun ist für diese z die 3. Ableitung

f ' ' '(z)=|sin(z)cos(z)(3+cos(z))e^(cos(z) )|<1*0,1*3,1*1,2| =0,372

Also f '''(z) / 3! < 0,062. Und \(  (x-\frac{\pi}{2} )^3 < 10^{-3} \)

Dann wäre ja sogar 0,062*10^(-3) der größte Fehler. Musst du wohl

nochmal nachrechnen.