Abelsche Gruppen Kommutativ

Question

Aufgabe:

Fur ¨ x, y ∈ R sei x ⊕ y := x + y − xy. Untersuchen Sie, ob (R \ {1}, ⊕) eine kommutative
Gruppe ist.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht genau wie ich vorgehen soll

Comments

ZB mal die Definition einer kommutativen Gruppe nachschlagen und herausfinden was du genau zeigen musst.

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das weiß ich aber ich weiß nicht wie genau ich es bei diesem Beispiel beweise

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Was hat du denn schon nachgeprüft? Assoziativität?

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hab jetzt einmal alles durch aber ich bin mir nicht sicher ob es "zu einfach" war, ich muss ja nur die Gruppe (R/1 (+)) überprüfen oder? Denke das ganze davor hatte mich verwirrt

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Hast du wirklich
\((x\oplus y)\oplus z=x\oplus(y\oplus z)\) nachgerechnet?

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ja hatte (x+y) +z = x+ (y+z)

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Du sollst doch die Verknüpfung "\(\oplus\)" verwenden.

Und da ist z.B.

\(x\oplus(y\oplus z)=x+y+z-yz-xy-xz+xyz\).

Das sind ja ganz andere Ausdrücke ...

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Och ne dann hatte ich das ganze falsch verstanden

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Also: neues Spiel, neues Glück ;-)

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Ich stehe tatsächlich immer noch auf dem Schlauch

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Du musst für Assoziativität nur einsetzen

x ⊕ ( y ⊕ z ) =x + ( y ⊕ z ) - x * ( y ⊕ z ) = x + (y + z - y*z) - x * (y + z - y*z)

= x + y + z - xy - xz - yz + xyz

Analog rechnest du jetzt ( x ⊕  y ) ⊕ z aus und vergleichst die Ergebnisse. Du willst zeigen, dass x ⊕ ( y ⊕ z ) = ( x ⊕ y ) ⊕ z..

Kommutativität ist auch nur einsetzen:

x ⊕ y = x + y - x*y = y + x - y*x = y ⊕ x. Dabei verwendest du die Kommuativität von + und * auf IR.

Neutrales Element: Du suchst ein e s.d. x ⊕ e = e ⊕ x = x für alle x

Zu lösen ist also x = x+e - x*e

Dann suchst du zu jedem Element x ein Inverses, d.h. ein y mit

e = x ⊕ y = x + y - x*y

auch diese Gleichung musst du jetzt nach y auflösen. Dabei wird dir dann auch auffallen, weshalb nur IR\{1} betrachtet wird.