Grenzwert bestimmen durch Umformen

Question

Löse \(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^{x^x-1}\). Ich hab es gelöst indem ich den Log nehme von dem Ausdruck und x^x - 1 ~ x*ln(x) nutze. Ich würde gerne jedoch wissen, ob es hier auch nur durch "simples" Umschreiben möglich ist den GW zu bestimmen. Meine Variante kommt mir etwas umständlich vor.

Comments

Generell würde ich das auch mit dem Logarithmus berechnen.

Ich denke, das Umschreiben in eine Taylorreihe würde hier umständlicher sein, weil du dann ja evtl. noch die Grenzwerte der Summanden bestimmen müsstest.

Answer 1

$$\lim_{x \rightarrow 0^+} x^{x^x - 1} \newline = \lim_{x \rightarrow 0^+} \exp(\ln(x^{x^x - 1})) \newline = \lim_{x \rightarrow 0^+} \exp((x^x - 1) \cdot\ln(x)) \newline = \lim_{x \rightarrow 0^+} \exp((\exp(x \cdot \ln(x)) - 1) \cdot\ln(x)) \newline \text{für z} \rightarrow \text{0 kann man exp(z) durch die Tangente 1 + z annähern} \newline = \lim_{x \rightarrow 0^+} \exp((1 + x \cdot \ln(x) - 1) \cdot\ln(x)) \newline = \lim_{x \rightarrow 0^+} \exp(x \cdot \ln(x) \cdot\ln(x)) \newline = \lim_{x \rightarrow 0^+} \exp(x \cdot \ln^2(x)) \newline \text{Jetzt bilden wir den Grenzwert des Exponenten} \newline \lim_{x \rightarrow 0^+} x \cdot \ln^2(x) \newline \text{Wenn du weißt, dass sich Polynome gegenüber Logarithmen durchsetzen} \newline \text{sieht man gleich den Grenzwert 0. Ansonsten musst du diesen auch Herleiten.} \newline \newline \text{Jetzt den Grenzwert in den Exponenten einsetzen.} \newline \lim_{x \rightarrow 0^+} \exp(x \cdot \ln^2(x)) = \exp(0) = 1$$