Extrempunkte auf einem Intervall bestimmen.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Extremwerte der Funktion f mit f(x)=2sin(x) -x im Intervall [0;2π].

Problem/Ansatz:

Hi,

den ersten Extremwert habe ich herausgefunden, es ist π/3. Aber wie kommt man auf die restlichen Werte?

Btw. ist es egal, ob man eine Extrempunkt mit der VZW-Methode oder der Krümmungsmethode herausfindet?

Vielen Dank schon mal : )

Answer 1

erste Ableitung gleich null gesetzt:

$\frac{d}{d x}(2 \sin (x)-x)=2 \cos (x)-1 = 0$

Answer 2

Aloha :)

Wir suchen die Extermwerte der Funktion:$$f(x)=2\sin(x)-x\quad;\quad x\in[0;2\pi]$$Kandidaten dafür finden wir dort, wo die erste Ableitung zu Null wird:$$0\stackrel!=f'(x)=2\cos(x)-1\implies\cos(x)=\frac12\implies x=\pm\arccos\left(\frac12\right)=\pm\frac\pi3$$Da wir die Extremwerte aus dem Intervall $[0;2\pi]$ suchen, nutzen wir die $2\pi$-Periode der $\cos$-Funktion aus und erhalten als Kandidaten:$$x_1=\frac\pi3\quad;\quad x_2=-\frac\pi3+2\pi=\frac53\pi$$Ob es sich bei den beiden Kandidaten tatsächlich um Extremwerte handelt, prüfen wir mit Hilfe der zweiten Ableitung:$$f''(x)=-2\sin(x)$$$$f''(\frac\pi3)=-\sqrt3<0\implies\text{Maximum}$$$$f''(\frac53\pi)=\sqrt3>0\implies\text{Minimum}$$

Plotlux öffnen

f₁(x) = 2·sin(x)-xP(π/3|√(3)-π/3)P(5·π/3|-√(3)-5π/3)Zoom: x(0…7) y(-8…1)

Streng genommen gibt es zwei weitere Extremwerte an den Rändern des Definitionsbereichs, also bei $x=0$ und bei $x=2\pi$. Falls solche "Randextrema" gerade Thema bei euch sind, würde ich diese mit anführen.