Zeigen Sie das f*g in 0 differenzierbar ist und bestimmen Sie die Ableitung.

Question

Aufgabe:

a)$$\text{ Seien } f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}.\text{ Die Funktion f sei stetig in 0 und g sei differenzierbar in 0 mit }g(0)=0.$$

$$\text{ Zeigen Sie, dass }f*g \text{ in 0 differenzierbar ist und bestimmen Sie die Ableitung.}$$

b)$$\text{ Bestimmen Sie jeweils alle }x\in\mathbb{R},\text{ in denen die Funktion }f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$

$$\text{ differenzierbar ist und bestimmen Sie für diese x die Ableitung } f´(x).$$

$$f(x)=\left\{x^{k}e^{-\frac{1}{x}}\text{ falls }x\neq0 , 0 \text{ falls } x=0\right\}\text{ mit }k \in\mathbb{Z}$$

Problem/Ansatz:

Da ich noch recht unsicher in dem Thema bin würde ich mich über Tipps wie ich an diese Aufgabe rann gehen soll sehr freuen :)

Answer 1

Betrachte den Differenzenquotienten des Produktes bei x=0:

$\frac{(f \cdot g)(0+h)-(f \cdot g)(0)}{h}= \frac{f(0+h) \cdot g(0+h) -f(0) \cdot g(0)}{h}$

$= \frac{f(h) \cdot g(h) -f(0) \cdot 0}{h} = \frac{f(h) \cdot g(h) }{h}$

Und: f ist stetig bei x=0 , also existiert der Grenzwert von f(h) für x gegen 0

und der ist gleich f(0).

Und $\frac{g(h) }{h}$ ist der Differenzenquotient von g

an der Stelle 0, hat also für h gegen 0 den Grenzwert g ' (0) .

Also existiert auch der Grenzwert des oben bestimmten Diff.quot:

$\frac{f(h) \cdot g(h) }{h} = f(h) \cdot \frac{f(h) }{h}$ für h gegen 0

nach dem Grenzwertsatz für Produkte.

Und man kann sogar den Wert angeben: f(0)*g'(0)

was die Produktregel auch ergibt.