Question

Ist jede stetige Funktion integrierbar und wenn ja, was ist der Beweis, beziehungsweise die Begründung?

Comments

vgl:

https://learnattack.de/schuelerlexikon/mathematik/integrierbarkeit

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Danke. Gibte es auch einen Beweis? In der Klausur müsste ich das noch begründen bzw, beweisen

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Hallo,

was ein Beweis ist / wie ausführlich ein Beweis (in einer Klausur) sein müsste, hängt davon ab, welche Sätze bei der Einführung des Integrals bewiesen worden sind.

Ganz kurz: Eine stetige Funktion \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) ist gleichmäßig stetig, daher gleichmäßig durch Treppenfunktionen approximierbar, daher integrierbar.

Gruß Mathhilf

Answer 1

Eine Funktion f ist in einem Intervall I = [a; b] integrierbar, wenn die Grenzwerte von Ober- und Untersumme existieren und übereinstimmen, also das bestimmte Integral existiert. Dies ist dann der Fall, wenn f stetig oder monoton (oder beides!) ist.

somit folgt Jede stetige Funktion ist integrierbar, die Umkehrung gilt dagegen nicht: es gibt auf einem Intervall integrierbare Funktionen, die dort nicht (überall) stetig sind! Beispielsweise ist die Signum-Funktion, die jeder Zahl ihr Vorzeichen zuordnet, an der Stelle x = 0 unstetig, aber trotzdem intergrierbar und es ist ∫sgn xdx=|x| (also die Betragsfunktion).