Question

Warum ist x->H(x) im Intervall [-1; +1] integrierbar, obwohl sie keine Stammfunktion hat? Widerspricht nicht die Tatsache, dass sie keine Stammfunktion hat dem integrieren?

Soweit ich das verstanden habe ist x->H(x) nicht integrierbar, weil die Stammfunktion einen Knick bei x=0 hätte und dementsprechend nicht differenzierbar ist, was aber der Bedingung, dass sie eben differenzbar sein muss, damit x->H(x) eine Stammfunktion hat, widerspricht. (Warum auch immer das so sein soll)

Aber warum sollte die Funktion dann im Bereich von -1 bis +1 integrierbar sein? Sie beinhaltet doch immer noch die "Problemstelle"?

Vielen Dank im Voraus,

LG

Comments

@Der_Mathecoach

In meinem Fall gilt H(x) = {x=1 für x>0           x=0 für x<=0}

Aber wenn eine Funktion keine Stammfunktion hat, warum kann man sie dann integrieren?

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Warum blendest du meinen Kommentar

Text erkannt:

\( f(x)=e-x^{\wedge} 2 \) ist auch eine Funktion die zwar keine Stammfunktion hat
Aber selbstverständlich hat sie eine II
Kommentiert vor 1 Sekunde von Gast \( \mathrm{h} / 2166 \)

weg ?

Kennst du keine Stammfunktion ?
Ich kenne sogar zwei !

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    Aber wenn eine Funktion keine Stammfunktion hat, warum kann man sie dann integrieren?

Typischer Satz aus der Analysis 1:

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Eigenschaften_des_Riemannintegrals#Monotone_Funktionen_sind_riemannintegrierbar

Offensichtlich ist H monoton auf [-1,1], also Riemann-integrierbar.

Integrierbarkeit und Existenz von Stammfunktion sind nicht äquivalent.

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Wieso ist H "offensichtlich monoton auf [-1,1]" ? Übersehe ich da etwas im Aufgabentext?

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Wieso ist H "offensichtlich monoton auf [-1,1]" ? Übersehe ich da etwas im Aufgabentext?

Leider nein.

@Der_Mathecoach

In meinem Fall gilt H(x) = {x=1 für x>0          x=0 für x<=0}

Aber es wurde ja als Kommentar nachgeliefert.

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Sorry, war eine vorschnelle Nachfrage.

Answer 1

Hallo

 stetige Funktionen sind integrierbar, damit natürlich auch differenzierbare, aber Riemannintegrierbar sind nicht nur die, die Riemanintegrierbarkeit ist ja sogar über Treppenfunktionen definiert.

Wenn die Integralfunktion also F(x)=Integral von a bis x  f(x) differenzierbar ist, dann ist F'(x)=f(x) dann nennt man F(x) Stammfunktion von f(x), aber eben nicht jede Funktion F(x) ist differenzierbar. deshalb gehört auch nicht zu jedem Integral eine Stammfunktion.

Gruß lul

Comments

Wenn die Integralfunktion also F(x)=Integral von a bis x  f(x) differenzierbar ist, dann ist F'(x)=f(x)

Diese Behauptung lässt sich leicht widerlegen.

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Den Kommentar verstehe ich mal wieder nicht.

lul

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Gegenbeispiel ist die Funktion f mit  f(x) = H(x) + H(-x) .

Answer 2

Warum ist x->H(x) im Intervall [-1; +1] integrierbar, obwohl sie keine Stammfunktion hat?

Weil die Ober- und Untersummen gegen den gleichen Wert konvergieren wenn die Breite der Teilintervalle gegen 0 geht.

Widerspricht nicht die Tatsache, dass sie keine Stammfunktion hat dem integrieren?

Nein. Der Fundamentalsatz der Analysis (der eine Aussage über die Existenz von Stammfunktionen macht) setzt voraus, dass die zu integrierende Funktion stetig ist. H ist nicht stetig.