Du sollst ja betrachten
f(x) = xα und g(x)=xß . Für xo>0 und den Grenzwert x gegen xo kannst
du ja annehmen, dass auch x>0 gilt. Außerdem β≠0, also sind die
Vor'en des verallgemeinerten Mittelwertsatzes erfüllt und es gilt
\( \frac{x^α-x_0^α}{x^ß-x_0^ß} = \frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)} \)
Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein z zwischen x und xo so, dass dieser
Bruch gleich ist mit \( \frac{f'(z)}{g'(z)} = \frac{ αz^{α-1}}{ßz^{ß-1}} = \frac{ α}{ß} \cdot \frac{ z^{α-1}}{z^{ß-1}} = \frac{ α}{ß} \cdot z^{α-1-(ß-1)}\)
\( = \frac{ α}{ß} \cdot z^{α-ß}\)
Und für x gegen xo geht auch z (Das liegt ja dazwischen) gegen xo,
also ist der Grenzwert \( \frac{ α}{ß} \cdot x_0^{α-ß}\)
