Zeigen Sie, dass die Aussagen i) und iii) äquivalent sind.

Question

Text erkannt:

Sei \( V \) ein (nicht notwendigerweise endlich dimensionaler) \( \mathbb{K} \)-Vektorraum und \( \Phi \in \) End \( (V) \). Wir betrachten die folgenden vier Aussagen:
i) \( \operatorname{Kern}(\Phi) \cap \operatorname{Bild}(\Phi)=\{0\} \).
ii) \( V=\operatorname{Kern}(\Phi)+\operatorname{Bild}(\Phi) \).
iii) \( \operatorname{Kern}(\Phi)=\operatorname{Kern}\left(\Phi^{2}\right) \).
iv) \( \operatorname{Bild}(\Phi)=\operatorname{Bild}\left(\Phi^{2}\right) \).
a) Zeigen Sie, dass die Aussagen i) und iii) äquivalent sind.
b) Zeigen Sie, dass die Aussagen ii) und iv) äquivalent sind.
c) Zeigen Sie, dass alle vier Aussagen äquivalent sind, wenn \( V \) endlich dimensional ist.
d) Finden Sie im Fall \( V=\mathbb{K}^{2} \) jeweils ein explizites Beispiel für \( \Phi \), sodass alle vier Aussagen wahr bzw. alle vier Aussagen falsch sind.

Comments

Dazu hat hier https://www.mathelounge.de/909201/zeigen-sie-dass-die-aquivalenz-folgender-aussagen schon niemand Lust gehabt.

Answer 1

 \( \operatorname{Kern}(\Phi) \cap \operatorname{Bild}(\Phi)=\{0\} \) ==>  \( \operatorname{Kern}(\Phi)=\operatorname{Kern}\left(\Phi^{2}\right) \)

Es gelte (i) und sei x∈\(  \operatorname{Kern} (\Phi) \)

==>  Φ(x)=0 ==>   Φ^2(x) = Φ( Φ(x))= Φ(0)=0

                ==>   x ∈ \(\operatorname{Kern}\left(\Phi^{2}\right) \)

auch ohne die gegebene Voraussetzung.

Also gilt \( \operatorname{Kern}(\Phi) ⊆ \operatorname{Kern}\left(\Phi^{2}\right) \)

auch ohne die gegebene Voraussetzung.

Sei umgekehrt x∈\(\operatorname{Kern}\left(\Phi^{2}\right) \)

==>    Φ( Φ(x))=0  ==>   Φ(x) ∈ \(  \operatorname{Kern} (\Phi) \)

Andererseits ist natürlich \(  Φ(x) ∈ \operatorname{Bild}(\Phi)\)

somit Φ(x) ∈  \( \operatorname{Kern}(\Phi) \cap \operatorname{Bild}(\Phi) \)

also nach Vor.   Φ(x) = 0 ==>     x ∈ \(\operatorname{Kern}\left(\Phi\right) \).

Damit ist (i) ==> (iii) bewiesen.

Vielleicht hast du ja ne Idee für die andere Richtung.