Hallo :-)
Betrachte mit deiner Folge \(a_n=\sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}}\) stattdessen die neue Folge
$$\begin{aligned} b_n&:=\ln(a_n)=\ln\left(\sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}} \right)=\ln\left(\left(\frac{n!}{n^n}\right)^{\frac{1}{n}}\right)={\frac{1}{n}}\cdot \ln\left(\frac{n!}{n^n}\right)\\&=\frac{1}{n}\cdot \Big[\ln(n!)-\ln(n^n)\Big]=\frac{1}{n}\cdot \Big[\ln\big(n\cdot (n-1)\cdot...\cdot 2\cdot 1\big)-\ln(n^n)\Big] \\&=\frac{1}{n}\cdot \left[\ln\left(\prod_{k=1}^n k\right)-n\cdot \ln(n)\right]\\&=\frac{1}{n}\cdot \left[\sum\limits_{k=1}^n\ln(k)-n\cdot \ln(n)\right]\\&=\frac{1}{n}\cdot \left[\left(\sum\limits_{k=1}^n\ln(k)\right)-\left(\sum\limits_{k=1}^n \ln(n)\right)\right]\\&=\frac{1}{n}\cdot \left[\sum\limits_{k=1}^n(\ln(k)-\ln(n))\right]\\&=\frac{1}{n}\cdot \left[\sum\limits_{k=1}^n\ln\left(\frac{k}{n}\right)\right]\end{aligned}$$
Betrachtet man die einzelnen Summanden, dann sieht man, dass \(\ln(.)\) auf dem Intervall \([0,1]\) an äquidistanten Stellen \(\frac{k}{n}\) ausgewertet wird.
Damit ist
$$ \lim\limits_{n\to \infty} b_n=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{1}{n}\cdot \left[\sum\limits_{k=1}^n\ln\left(\frac{k}{n}\right)\right]=\int_0^1 \ln(t)\text{ dt} $$
Das musst du jetzt noch ausrechnen.
