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Ich bin ratlos. Ich habe folgende Aufgabe: Skizzieren sie den Graphen von f, und bestimmen Sie die lokale Änderungsrate von f an der Stelle \( x_0 \).

\( f(x)=1-x^2 ,x_0 = 2 \)

Der Lehrer will, dass wir das mit der h-Methode berechnen und der Formel:

\( \lim \limits_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \)


Ich habe mich mal an der Aufgabe versucht. Schaut mal was dabei heraus kam:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 2} \frac{1-x^{2}-3}{x-2}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{1-(h-2)^{2}-3}{h-2-2}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{1-h^{2}+4 h-4-3}{h-4}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{1-h+4 h}{h-4} \)

Allerdings habe ich da scheinbar Fehler drin gemacht denn ich komme einfach nicht weiter. Könnt ihr mir sagen welche Fehler? Das mit der h-Methode habe ich nicht so recht verstanden da ich als die durchgenommen wurde nicht da war und aus den Aufzeichnungen nicht schlau wurde.

Eine weitere Frage ist: Wie kann ich anhand des Graphen die lokale Änderungsrate bestimmen wie es ja in der Aufgabe verlangt ist. Die mittlere weiß ich ja aber die lokale nicht.

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Ich denke es muß bei der h-Methode ( 2 - h ) heißen. Bin mir aber nicht sicher.

Eine weitere Frage ist: Wie kann ich anhand des Graphen die lokale Änderungsrate bestimmen wie es ja in der Aufgabe verlangt ist. Die mittlere weiß ich ja aber die lokale nicht.

lokale Änderungsrate bei x = 2.. Du zeichnest die Tangente ( in etwa ) am Punkt x = 2 ein. Dann zeichnest du eine waagerechte Linie 1 Längeneinheit nach rechts. Von dort eine weitere Linie nach unten bis zur Kurve.

Das so entstandene Steigungsdreick delta ( y ) / delta ( x ) = -4 / 1 = -4.

Dies ist der Tangens des Steigungswinkels oder die Änderungsrate.

Üblicher ist, dass man f(xo+h) berechnet. Also (2+h) einsetzt.

Das gibt im Nenner: (2+h)-2 = h. Der Zähler sieht dann auch etwas anders aus und h lässt sich wegkürzen.

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h-Methode:

[ f(x + h) - f(x) ] / [ (x + h) - x ]

In diesem Ausdruck lässt man das h beliebig klein werden und kommt damit auf die globale Änderungsrate.

Wir können ihn natürlich im Nenner noch vereinfachen und kommen auf:

[ f(x + h) - f(x) ] / h

 

Jetzt setzen wir die Funktion

f(x) = 1 - x2 ein:

 

[ 1 - (x + h)2 - (1 - x2) ] / h =

[ 1 - x2 - 2xh - h2 - 1 + x2 ] / h =

[ - 2xh - h2 ] / h =

[ h * (- 2x - h) ] / h

Wir kürzen durch h und erhalten

- 2x + h

Für h -> 0 geht dieser Ausdruck natürlich gegen -2x, was auch die 1. Ableitung der Funktion darstellt.

 

Um die lokale Änderungsrate an der Stelle x0 = 2 zu erhalten, setzen wir dies einfach in -2x ein, also

ist das Ergebnis -4.

 

Besten Gruß

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