Bestimme alle Randpunkte, alle inneren Punkte und alle isolierten Punkte als Teilmenge von E.

Question

Es sei $E=\left\{\mathrm{x}=\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}: x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \leq 1\right\} .$ Wir betrachten auf $E$ zwei verschiedene Metriken: Die Euklidische Metrik
$\varrho_{2}(\mathbf{x}, \mathbf{y})=\sqrt{\left(y_{1}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-x_{2}\right)^{2}}, \quad \mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}\right), \mathbf{y}=\left(y_{1}, y_{2}\right) \in E,$
und die triviale Metrik
$\varrho_{\mathrm{tr}}(\mathbf{x}, \mathbf{y})=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { wenn } \quad \mathbf{x}=\mathbf{y} \\ 1 \quad \text { wenn } \quad \mathbf{x} \neq \mathbf{y} & \quad \mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}\right), \mathbf{y}=\left(y_{1}, y_{2}\right) \in E . \end{array}\right.$
Man bestimme alle Randpunkte, alle inneren Punkte und alle isolierten Punkte von
$M=\left\{\mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}: x_{1}^{2}+x_{2}^{2}<\frac{1}{2}\right\}$
als Teilmenge von $E$ im
a) metrischen Raum $\left(E, \varrho_{2}\right)$,
b) metrischen Raum $\left(E, \varrho_{\mathrm{tr}}\right)$.
c) Ist $M$ im metrischen Raum $\left(E, \varrho_{2}\right)$ offen oder abgeschlossen?
d) Ist $M$ im metrischen Raum $\left(E, \varrho_{\mathrm{tr}}\right)$ offen oder abgeschlossen?

Answer 1

Zu a)

Randpunkte = $\{(x_1,x_2):\; x_1^2+x_2^2=1/2\}$

Innere Punkte = $M$

Isolierte Punkte = $\emptyset$.

Zu b)

Randpunkte = $\emptyset$

Innere Punkte = $M$

Isolierte Punkte = $M$.

Zu c)

offen, nicht abgeschlossen

Zu d)

sowohl offen als auch abgeschlossen