Zeigen Sie, dass (u1 ,..., un , v1 ,..., vm ) ∈ Wn+m eine geordnete Basis von U ⊕ V ist.

Question

Aufgabe:

Seien U und V zwei (voneinander) unabhängige Unterräume eines K-Verktorraums W, und seien (u₁ , ..., u_n ) ∈ Uⁿ   und (v₁ ,..., v_m )  ∈ V^m geordnete Basen von U bzw. V. Zeigen Sie, dass (u₁ ,..., u_n , v₁ ,..., v_m ) ∈ W^n+m eine geordnete Basis von U ⊕ V ist.

Könnten Sie es bitte vorrechnen, damit ich es verstehe, wie es genau geht?

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Ich brauche unbedingt eure Hilfe :(

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Nicht einfach oder?!

Answer 1

Nicht einfach oder?!

Sag selber:
Zunächst ist $(u_1, \ldots u_n,v_1,\ldots v_m)$ ein Erezugendensystem für $U+V$. Denn es ist $x \in U+V$ genau dann, wenn es $u \in U, v\in V$ gibt mit $x=u+v$. Aufgrund der Basis-Eigenschaften für U und V gilt damit
$$x=u+v=\sum_{i=1}^ns_iu_i+\sum_{k=1}^m t_k v_k$$
mit Koeffizienten $s_i,t_k \in K$.
Bleibt noch zu zeigen, dass $(u_1, \ldots u_n,v_1,\ldots v_m)$ linear unabhängig ist: Wenn eine Linearkombination aus diesen Elementen 0 ergibt, also
$$0=\sum_{i=1}^ns_iu_i+\sum_{k=1}^m t_k v_k \Rightarrow \sum_{i=1}^ns_iu_i=-\sum_{k=1}^m t_k v_k$$
In dieser Gleichung liegt die linke Summe in U, die rechte in V. Wegen der Gleichheit liegen beide in $U \cap V$. Aufgrund der vorausgesetzten Unabhängigkeit der Unterräume (alsoo $U \oplus V$ statt "nur" $U + V$) liegt in diesem Durchschnitt nur der 0-Vektor. Wir haben also
$$0=\sum_{i=1}^ns_iu_i$$Weil die $u_i$ eine Basis von U bilden, folgt, dass alle $s_i=0$ sind. Analog für die $t_i$.
Gruß Mathhilf

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Vielen Dank, das war sehr nett Mathhilf.