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Sei f : A → B ein Ringhomomorphismus (von Ringen mit 1). Zeigen Sie, dass f (Ax) ⊂ Bx gilt.


Ich hab ein Verständnisproblem: Was ist mit Ax und Bx gemeint?

In meinem Skript und in der Aufgabe ist das leider nicht definiert. Weiß vo euch jemand was damit gemeint ist?

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\(R^*\) ist die Gruppe der invertierbaren Elemente des Ringes \(R\),
auch Einheitengruppe genannt.

Vielen Dank, macht Sinn:D

Das wäre meine Lösung für die Aufgabe, passt das so?

Sei a,a' aus Ax s.d. a*a' = 1A dann folgt:

f(a)∗f(a′)=f(a∗a′)=f(1A)=1B
⇒f(a),(a′) aus Bx

also bildet f zwischen den Einheitengruppen ab. und ist somit ein Gruppenhomomorphismus zwischen den Einheitengruppen.

Ja, das ist OK. In der Zeile 5 fehlt ein f bei (a'). Ist aber klar,
was du meintest. Für kommutative Ringe bist du damit durch.
Sind eure Ringe als kommutativ vorausgesetzt?

Ja, vorausgesetzt ist alle Ringe kommutativ mit 1, alle Homomorphismen bilden die Eins auf die Eins.

Vielen Dank!

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