Aussagen zeigen im Körper der p-adischen Zahlen

Question 1

Aufgabe:

Sei p eine Primzahl und $$b \in \mathbb{Q}_p^{\times}$$ mit b=p^nu für $$u \in \mathbb{Z}_p^{\times}$$ und $$n \in \mathbb{Z}$$.

Zeige die folgenden Aussagen:

a) Die Gleichung $$x^3=b$$ besitzt genau dann eine Lösung in $$\mathbb{Q}_p^{\times}$$, wenn 3|n gilt und $$x^3=u$$ eine Lösung in $$\mathbb{Z}_p^{\times}$$ besitzt

b) Sei p≠3, so ist die Gleichung $$x^3=u$$ genau dann in $$\mathbb{Z}_p^{\times}$$ lösbar, wenn $$x^3 \equiv u mod p$$ eine Lösung besitzt

Question 2

Hat sich erledigt ;-)

Question 3

zu a)

Sei $a=p^m\cdot v$ mit $m\in Z$ und $v\in Z_p^*$.

Dann ist $a^3=b$ genau dann, wenn

$(p^m)^3v^3=3^nu$, also $3m=n$ und $v^3=u$

Zu b)

Da jede Gleichung in $Z_p$ auch mod $p$ gilt,

muss man nur zeigen:

wenn $X^3\equiv u$ mod $p$ eine Lösung hat, hat auch

$X^3=u$ in $Z_p$ eine Lösung (vorausgesetzt $p\neq 3$).

Nun benutzen wir Hensels Lemma:

Sei $x$ mod $p$ eine Nullstelle von $f(X)=X^3-u\in Z_p[X]$ mod $p$,

also $v_p(f(x))>0$, dann ist $v_p(f'(x))=v_p(3x)=0$.

Nach Hensels Lemma gibt es also $v\in Z_p$ mit $f(v)=0$.

Question 4

Aaaah, nun geht mir ein Licht auf. Ich habe mich mal wieder in einer Sackgasse verstrickt. Vielen Dank fürs Aufklären!

ermanus · Answer 1 · 2022-01-26T13:43:32+0000