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Aufgabe:

Berechnen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

y´ - 2x+1x²+x \frac{2x+1}{x²+x} y = x² , x > 0,

und geben die spezielle Lösung an, die an der Stelle x₀ = 1 den Wert y0 = 0 annimmt.

Problem/Ansatz:
Ich verstehe nicht wie ich anfangen soll. Kann mir da jemand helfen?


Danke

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Aloha :)

Löse zuerst die homogene DGL:y0(x)2x+1x2+xy0(x)=0 ⁣ : y0(x)\left.y'_0(x)-\frac{2x+1}{x^2+x}y_0(x)=0\quad\right|\colon y_0(x)y0(x)y0(x)2x+1x2+x=0+2x+1x2+x\left.\frac{y'_0(x)}{y_0(x)}-\frac{2x+1}{x^2+x}=0\quad\right|+\frac{2x+1}{x^2+x}y0(x)y0(x)=2x+1x2+xIntegrieren\left.\frac{y'_0(x)}{y_0(x)}=\frac{2x+1}{x^2+x}\quad\right|\text{Integrieren}lny0(x)=lnx2+x+C1e\left.\ln|y_0(x)|=\ln|x^2+x|+C_1\quad\right|e^{\cdots}eln(y0(x))=elnx2+x+C1vereinfachen\left.e^{\ln(y_0(x))}=e^{\ln|x^2+x|+C_1}\quad\right|\text{vereinfachen}y0(x)=x2+xC2;C2eC1>0|y_0(x)|=|x^2+x|\cdot C_2\quad;\quad C_2\coloneqq e^{C_1}>0Wegen x>0x>0 können die Betragszeichen entfallen:y0(x)=C2(x2+x)\underline{\underline{y_0(x)=C_2\cdot(x^2+x)}}

Damit haben wir zwar eine Lösung des homogenen Systems, wir brauchen aber noch eine Lösung der inhomogenen DGL. Dazu variieren wir die Integrationskonstante C2=C2(x)C_2=C_2(x). Dann lautet die Ableitung nach der Produktregel:y(x)=C2(x)(x2+x)+C2(x)(2x+1)y'(x)=C'_2(x)\cdot(x^2+x)+C_2(x)\cdot(2x+1)

Das setzen wir in die inhomogne DGL ein:C2(x)(x2+x)+C2(x)(2x+1)2x+1x2+xC2(x)(x2+x)=x2vereinfachen\left.C'_2(x)\cdot(x^2+x)+C_2(x)\cdot(2x+1)-\frac{2x+1}{x^2+x}C_2(x)\cdot(x^2+x)=x^2\quad\right|\text{vereinfachen}C2(x)(x2+x)=x2 ⁣ : (x2+x)\left.C'_2(x)\cdot(x^2+x)=x^2\quad\right|\colon(x^2+x)C2(x)=x2x2+x=xx+1=x+11x+1=11x+1integrieren\left.C'_2(x)=\frac{x^2}{x^2+x}=\frac{x}{x+1}=\frac{x+1-1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}\quad\right|\text{integrieren}C2(x)=xln(x+1)+C3C_2(x)=x-\ln(x+1)+C_3Wir setzen diese C2(x)C_2(x) in die homogene Lösung ein und finden damit die gesuchte allgemeine Lösung der inhomogenen DGL:y(x)=(xln(x+1)+C3)(x2+x)\underline{\underline{y(x)=\left(x-\ln(x+1)+C_3\right)\cdot(x^2+x)}}

Für eine spzezielle Lösung ys(x)y_s(x) mit der Anfangsbedingung ys(1)=0y_s(1)=0 müssen wir die Integrationskonstante C3C_3 entsprechend bestimmen:0=!ys(1)=(1ln(2)+C3)2    C3=ln(2)10\stackrel!=y_s(1)=(1-\ln(2)+C_3)\cdot2\implies C_3=\ln(2)-1Das eingesetzt in die inhomogene Lösung liefert:ys(x)=(xln(x+1)+ln(2)1)(x2+x)y_s(x)=\left(x-\ln(x+1)+\ln(2)-1\right)\cdot(x^2+x)ys(x)=(x1+ln(2x+1))(x2+x)\underline{\underline{y_s(x)=\left(x-1+\ln\left(\frac{2}{x+1}\right)\right)\cdot(x^2+x)}}

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