Aloha :)
Löse zuerst die homogene DGL:y0′(x)−x2+x2x+1y0(x)=0∣∣∣∣∣ : y0(x)y0(x)y0′(x)−x2+x2x+1=0∣∣∣∣∣+x2+x2x+1y0(x)y0′(x)=x2+x2x+1∣∣∣∣∣Integrierenln∣y0(x)∣=ln∣x2+x∣+C1∣∣∣e⋯eln(y0(x))=eln∣x2+x∣+C1∣∣∣∣vereinfachen∣y0(x)∣=∣x2+x∣⋅C2;C2 : =eC1>0Wegen x>0 können die Betragszeichen entfallen:y0(x)=C2⋅(x2+x)
Damit haben wir zwar eine Lösung des homogenen Systems, wir brauchen aber noch eine Lösung der inhomogenen DGL. Dazu variieren wir die Integrationskonstante C2=C2(x). Dann lautet die Ableitung nach der Produktregel:y′(x)=C2′(x)⋅(x2+x)+C2(x)⋅(2x+1)
Das setzen wir in die inhomogne DGL ein:C2′(x)⋅(x2+x)+C2(x)⋅(2x+1)−x2+x2x+1C2(x)⋅(x2+x)=x2∣∣∣∣∣vereinfachenC2′(x)⋅(x2+x)=x2∣∣∣ : (x2+x)C2′(x)=x2+xx2=x+1x=x+1x+1−1=1−x+11∣∣∣∣∣integrierenC2(x)=x−ln(x+1)+C3Wir setzen diese C2(x) in die homogene Lösung ein und finden damit die gesuchte allgemeine Lösung der inhomogenen DGL:y(x)=(x−ln(x+1)+C3)⋅(x2+x)
Für eine spzezielle Lösung ys(x) mit der Anfangsbedingung ys(1)=0 müssen wir die Integrationskonstante C3 entsprechend bestimmen:0=!ys(1)=(1−ln(2)+C3)⋅2⟹C3=ln(2)−1Das eingesetzt in die inhomogene Lösung liefert:ys(x)=(x−ln(x+1)+ln(2)−1)⋅(x2+x)ys(x)=(x−1+ln(x+12))⋅(x2+x)