Aloha :)
Wir betrachten die Folge:an=(−1)n+n11n11−1=(−1)n+n11n11−n111=(−1)n+1−n111Der Summand (−1)n stört uns. Wir wissen aber, dass (−1)n=1 für gerade n und (−1)n=−1 für ungerade n gilt. Daher können wir die Folge umschreiben:an={2−n111−n111falls n geradefalls n ungerade
Zur Untersuchung der Beschränktheit müssen wir uns überlegen, welche Werte (−n111) annimmt. Da die Folge bei n=1 beginnt, ist n≥1 sodass:n≥1⟹n11≥111=1⟹n111≤1⟹−n111≥−1Damit können wir die Folgenglieder einschränken:
n gerade : −1≤−n111<0⟹2−1≤2−n111<2⟹1≤an<2n ungerade : −1≤−n111<0⟹−1≤an<0
Für alle Folgenglieder gilt also: −1≤an<2. Die Folge ist daher beschränkt.
Für gerade n strebt die Folge (an) gegen 2 und für ungerade n strebt sie gegen 0, daher existiert kein gemeinsamer Grenzwert.