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Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob die Folge an= (-1)n + (n11-1)/(n11) nEN, beschränkt ist. Besitzt die Folge einen Grenzwert?


Problem/Ansatz:

Verstehe, dass mir der Beschränktheit leider allgemein nicht. Hätte jetzt gesagt, sie ist nach unten mit -1 beschränkt…

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Kürzen mit n11 -> (1-1/n11)/n11 (1-0)/1 = 1 für n ->oo

für gerade n: lim = 1+1 =2

für ungerade n: lim = -1+1 = 0

Was bedeutet das für die Folge?

http://massmatics.de/merkzettel/#!180:Beschraenktheit_von_Folgen/Fun…

2 Antworten

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Aloha :)

Wir betrachten die Folge:an=(1)n+n111n11=(1)n+n11n111n11=(1)n+11n11a_n=(-1)^n+\frac{n^{11}-1}{n^{11}}=(-1)^n+\frac{n^{11}}{n^{11}}-\frac{1}{n^{11}}=(-1)^n+1-\frac{1}{n^{11}}Der Summand (1)n(-1)^n stört uns. Wir wissen aber, dass (1)n=1(-1)^n=1 für gerade nn und (1)n=1(-1)^n=-1 für ungerade nn gilt. Daher können wir die Folge umschreiben:an={21n11falls n gerade1n11falls n ungeradea_n=\left\{\begin{array}{cl}2-\frac{1}{n^{11}} &\text{falls \(n\) gerade}\\[1ex]-\frac{1}{n^{11}} &\text{falls \(n\) ungerade}\end{array}\right.

Zur Untersuchung der Beschränktheit müssen wir uns überlegen, welche Werte (1n11)\left(-\frac{1}{n^{11}}\right) annimmt. Da die Folge bei n=1n=1 beginnt, ist n1n\ge1 sodass:n1    n11111=1    1n111    1n111n\ge1\implies n^{11}\ge1^{11}=1\implies\frac{1}{n^{11}}\le1\implies-\frac{1}{n^{11}}\ge-1Damit können wir die Folgenglieder einschränken:

n gerade :    11n11<0    2121n11<2    1an<2\text{\(n\) gerade:}\;\,\quad-1\le-\frac{1}{n^{11}}<0\implies2-1\le2-\frac{1}{n^{11}}<2\implies1\le a_n<2n ungerade :   11n11<0    1an<0\text{\(n\) ungerade:}\;-1\le-\frac{1}{n^{11}}<0\implies-1\le a_n<0

Für alle Folgenglieder gilt also: 1an<2-1\le a_n<2. Die Folge ist daher beschränkt.

Für gerade nn strebt die Folge (an)(a_n) gegen 22 und für ungerade nn strebt sie gegen 00, daher existiert kein gemeinsamer Grenzwert.

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Danke für den ausführlichen Rechenweg!!

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Sie ist auch durch +2 nach oben beschränkt.

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