Steigung der Funktionen mit der h-Methode berechnen

Question

Aufgaben

Die Steigung der Funktion soll mithilfe der h-Methode berechnet werden.

f(x)=2x^2-x      x0= 4

f(x)=1/x     x0=3

Problem/Ansatz:

Hallo, ich würde mich sehr freuen wenn mir einer von euch die Aufgaben erklären könnte. Habe versucht es mithilfe des Internets zu verstehen aber ich kann die Lösungswege nicht nachvollziehen. Brauche es für die Vorbereitung für einen Test.

Vielen Dank und liebe Grüße

Answer 1

f(x) = 2·x^2 - x

m = (f(x + h) - f(x)) / h

m = (2·(x + h)^2 - (x + h) - (2·x^2 - x)) / h

m = (2·(x^2 + 2·x·h + h^2) - x - h - 2·x^2 + x) / h

m = (2·x^2 + 4·x·h + 2·h^2 - x - h - 2·x^2 + x) / h

m = (4·x·h + 2·h^2 - h) / h

m = 4·x + 2·h - 1

Für lim h → 0 gilt jetzt

m = 4·x - 1

und speziell für x0 = 4 gilt

m = 4·4 - 1 = 15

Answer 2

Aloha :)

zu a) \(\quad f(x)=2x^2-x\quad;\quad x_0=4\)

Wir berechen zuerst den Differenzenquotienten:$$\phantom{=}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\frac{f(4+h)-f(4)}{h}=\frac{\overbrace{2(4+h)^2-(4+h)}^{=f(4+h)}-\overbrace{\left(2\cdot4^2-4\right)}^{=f(4)}}{h}$$$$=\frac{2(16+8h+h^2)-4-h-28}{h}=\frac{32+16h+2h^2-h-32}{h}=\frac{15h+2h^2}{h}=15+2h$$Nun bilden wir den Grenzwert für \(h\to0\):$$f'(4)=\lim\limits_{h\to0}(15+2h)=15$$

zu b) \(\quad f(x)=\frac1x\quad;\quad x_0=3\)

Wir berechen wieder zuerst den Differenzenquotienten:$$\phantom{=}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\frac{\frac{1}{3+h}-\frac{1}{3}}{h}=\frac{\frac{3}{3(3+h)}-\frac{3+h}{3(3+h)}}{h}=\frac{\frac{3-3-h}{3(3+h)}}{h}$$$$=\frac{\frac{-h}{3(3+h)}}{h}=\frac{-h}{3(3+h)}\cdot\frac1h=-\frac{1}{3(3+h)}$$Nun bilden wir den Grenzwert für \(h\to0\):$$f'(3)=\lim\limits_{h\to0}\left(-\frac{1}{3(3+h)}\right)=-\frac19$$

Answer 3

f(x)=\( \frac{1}{h} \)

f(x+h)=\( \frac{1}{x+h} \)

f(x+h)-f(x)=\( \frac{1}{x+h} \) - \( \frac{1}{x} \) =\( \frac{x-(x+h)}{x·(x+h)} \)=\( \frac{-h}{x·(x+h)} \).

\( \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \)=\( \frac{-1}{x·(x+h)} \).

Für h=0 ist das m=\( \frac{-1}{x^2} \).

Für x₀=3 ist das m=\( \frac{-1}{9} \).