Ist das Polynom X8+X7+X6+X5+X4+X3+X2+X+1 irreduzibel in Q[X]?

Question

Aufgabe:

Ist das Polynom X⁸+X⁷+X⁶+X⁵+X⁴+X³+X²+X+1 irreduzibel in Q[X]?

Hat jemand ein Kriterium, dass ich hier anwenden kann?

Answer 1

Das Polynom heiße $p$.

Die Summenformel für die geometrische Reihe liefert

$p=\frac{X^9-1}{X-1}$. Die Nullstellen des Zählers $\neq 1$

sind gerade die 9-ten Einheitswurzeln $\neq 1$.

Ist nun $\zeta$ eine primitive 9-te Eiheitswurzel, so ist

$\zeta^3$ eine primitive 3-te Einheitswurzel, die bekanntermaßen

Nullstelle von $X^2+X+1$ ist, woraus

$0=(\zeta^3)^2+(\zeta^3)+1=\zeta^6+\zeta^3+1$ folgt.

Man überzeugt sich leicht davon, dass $p$  durch $X^6+X^3+1$ teilbar ist.

Answer 2

Berechne die komplexen Nullstellen und erhalte

damit

(x² +x+1 )(x⁶+x³+1)