Wie groß ist der Durchmesser des Riesenrads?

Question

Aufgabe:

Die Höhe h einer Gondel Über dem Boden in Metern in Abhängigkeit von der Zeit t in Sekunden kann durch folgende Funktion modelliert werden :

h(t) = 30,5*sin(0,0246(t-63,75))+34,25

Die Gondel befindet sich zum Zeitpunkt t=0 in der tiefsten Position.

1) Wie groß ist der Durchmesser des Riesenrads ?

2) Welche Maximale und welche minimale Höhe erreicht die Gondel ?

Problem/Ansatz :

1) Brauche ich um auf den Durchmesser zu kommen nicht den Radius ? Und wie habe ich einen Wert für die Höhe um vielleicht den Radius ausrechnen zu können ?

2) Dafür muss ich Extrema der Sinusfunktiom berechnen ? Für eine allgemein Sinusfunktion habe ich mir die Formel xHop=1/4*p+c und Xtip=3/4*p+c aufgeschrieben. Für die Periode p habe ich mit Hilfe der Formel (2*pi)/b einen Wert von 255,41 heraus. Kann ich denn jetzt trotzdem mit meiner verschobenen Sinusfunktion die Formel oben benutzen oder inwiefern muss ich etwas verändern ?

Answer 1

Hallo,

am einfachsten geht es so:

Der Sinus schwankt zwischen -1 und 1.

30,5•(-1)+34,25 → Höhe im unteren Punkt

30,5•(+1)+34,25 → Höhe im oberen Punkt

2•30,5=61 → Durchmesser

:-)

Answer 2

Welche Maximale und welche minimale Höhe erreicht die Gondel ?

Die Funktion

        \(h(t) = 30{,}5 \sin(0{,}0246(t-63{,}75))+34{,}25\)

ist genau dann maximal, wenn \(\sin(0{,}0246(t-63{,}75))\) maximal ist, weil \(30{,5} > 0\) ist,

\(\sin x\) ist maximal, wenn \(x = \frac{\pi}{2}\) ist.

Löse also die Gleichung

        \(0{,}0246(t-63{,}75) = \frac{\pi}{2}\).

Bestimme die Höhe der Gondel zu diesem Zeitpunkt.

Die Gondel befindet sich zum Zeitpunkt t=0 in der tiefsten Position.

Bestimme die Höhe der Gondel zu diesem Zeitpunkt.

Die Differenz der beiden Höhen ist der Durchmesser.

Comments

Ich habe jetzt als Maximum t=127,6 heraus.

Gibt man das in h ein, erhält man -3,75.

gibt man 0 in h ein, erhält man 3,75.

Würde der Durchmesser dann 0 oder -7,5 betragen ? Habe ich irgendwas vergessen zu beachten ?

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Ich habe jetzt als Maximum t=127,6 heraus.

Das ist richtig.

Gibt man das in h ein, erhält man -3,75.

Das ist nicht richtig.

gibt man 0 in h ein, erhält man 3,75.

Das ist richtig.

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Ich habe meinen Fehler gefunden und jetzt als Differenz 61m herausbekommen.

Dankeschön für deine Hilfe :)

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und jetzt als Differenz 61m herausbekommen.

Das ist korrekt.

Berechne auch \(2\cdot 30{,}5\), schau nach ob dir die Zahl \(30{,}5\) schon mal in der Aufgabenstellung begegnet ist und versuche zu erklären, warum das kein Zufall ist.

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Der Wert 30,5 müsste in der Funktion der Amplitude a entsprechen. Wobei a für die Streckung in y-Richtung verantwortlich ist. Das Maximum beträgt hier 64,75 m Höhe. Die Amplitude mal 2 ist die Differenz von Maximum und Minimum.

Ist das die Begründung oder gibt es dort noch mehr zu beachten ?

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Der Wert 30,5 müsste in der Funktion der Amplitude a entsprechen.

Das ist richtig.

Die Amplitude mal 2 ist die Differenz von Maximum und Minimum.

Das ist richtig.

Und die Differenz von Maximum und Minimum ist der Durchmesser des Riesenrades.