Funktionsuntersuchung, Ableitungen, Anwendungen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x)=1/20x^5-2/3x^3+3x

a) Bestätigen Sie, dass die Funktion an der Stelle x=Wurzel2 ein Maximum annimmt.

b) An welchen Stellen nimmt f ein Minimum an?

c) Geben Sie ohne weitere Rechnung alle vier Extremstellen von f an.

d) Ermittel Sie die Wendepunkte von f.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe das einfach überhaupt nicht. Ich habe jetzt mal die Ableitungen gebildet...

f(x)=1/20x^5-2/3x^3+3x

f'(x)=0,25x^4-2x^2+3

f''(x)=x^3-4x

Wie soll man da setzt alles rechnen?

Answer 1

a) Zeige f ' (√2) = 0 und f ' ' (√2) = -2√2  < 0 .

==>  f besitzt bei x=√2 ein lokales Maximum.

b) Hier sollst du wohl wegen der Symmetrie

zum Ursprung erkennen, das auch bei x=-√2

f ' eine Nullstelle hat und f ' ' (-√2 ) > 0 ist, also dort ein Min.

c) Ohne Rechnungb hätte ich keine Idee.

Für die anderen Extrema setze f ' (x) = 0 und

erhalte x= ±√2  und x= ±√6 .

Mit der 2. Abl. bestimmst du, wo Maxima bzw. Minima sind.

d) f ' ' (x) = 0 gibt die Kandidaten ±2 und 0.

Comments

Aber wie rechne ich das aus?

Answer 2

Gegeben ist die Funktion f(x)=1/20x⁵-2/3x³+3x

a) Bestätigen Sie, dass die Funktion an der Stelle x=\( \sqrt{2} \) ein Maximum annimmt.

f´(x)=0,25x⁴-2\( x^{2} \)+3

0,25x⁴-2\( x^{2} \)+3=0|*4

\( x^{4} \)-8\( x^{2} \)=-12

f´´(x)=\( x^{3} \) -4x

f´´ ( \( \sqrt{2} \) )=\( 2^{1,5} \) - 4*\( \sqrt{2} \)≈-2,8<0   Maximum

b) An welchen Stellen nimmt f ein Minimum an?

\( f(x)=\frac{1}{20} x^{5}-\frac{2}{3} x^{3}+3 x \)
\( \frac{d f(x)}{d x}=\frac{1}{4} x^{4}-2 x^{2}+3 \)

\( \frac{1}{4} x^{4}-2 x^{2}+3=0 \)

\( x_{1}=\sqrt{2} \)

\( x_{2}=-\sqrt{2} \)

\( x_{3}=\sqrt{6} \)

\( x_{4}=-\sqrt{6} \)

Die Werte von x₂, x₃ und x₄  in die 2. Ableitung einsetzen. Wenn der Wert > 0 ist, liegt ein Minimum vor. Im Fall < 0 ein Maximum.

d) Ermitteln Sie die Wendepunkte von f.  f´´(x)=0

\( x^{3} \) - 4 x=0

x*(\( x^{2} \) -4)=0 (Satz vom Nullprodukt)

x₁=0      f(0)=0

x₂=2      f(2)=....

x₃=-2   f(-2)=....