Witz-Verbreitungsmodell folgt einem exponentiellen Wachstumsmodell

Question

Aufgabe:

In einer Reisegruppe kursiert ein Witz. Anfangs kennen ihn 10 der 100 Teilnehmer*innen. Nach zwei Stunden sind es schon 50 Personen. Das Witz-Wachstumsmodell soll einem exponentiellen Wachstumsmodell folgen: \( W(t)=a e^{k t}+c . \)

a) Begründe, warum \( y=100 \) die Asymptote der Funktion sein muss.

b) Zeichne eine Skizze für das Witz-Wachstum.

c) Stelle mit den Informationen aus dem Text eine Funktionsgleichung \( W(t) \) (Anzahl der Personen die den Witz kennen) auf.

d) Wie viel Personen kennen nach sechs Stunden den Witz?

e) Überlege dir, warum die Funktion \( W(t) \) eine gute Wahl für die Modellierung der Sachsituation ist.

Problem/Ansatz:

Kann jemand mir bei dieser Aufgabe helfen, ich verstehe sie nicht :(

Answer 1

a)  Es gibt nur 100 Personen in der Gruppe. Wenn man sehr lange wartet

werden fast alle den Witz kennen und man ist bei 100.

c)  \( W(t)=a e^{k t}+c \)   Aus a folgt c=100

Ansonsten W(0)=10  und W(2)=50 ==>

\( 10=a e^{0}+100  \)  und \( 50=a e^{2k}+100  \)

==> \( -90=a \cdot 1 \)  und \( -50=a e^{2k} \)

a=-90 einsetzen gibt  \( -50=-90e^{2k} \)

==>    \( \frac{5}{9}=e^{2k} \)

==>      \( ln(\frac{5}{9})=2k \)  ==>  k = -0,294

Also   \( W(t)=-90e^{ -0,294t}+100 \)

d) W(6)=84,5 (halbe Person ? )

Answer 2

W ( t ) = a * e^(k*t) + c
a = 100
W ( t ) = 100 * e^(k*t) + c

( t | Wt )
( 0 | 10 )
( 2 | 50 )

W ( 0 ) = 100 * e^(k*0) + c = 10
W ( 2 ) = 100 * e^(k*2) + c = 50

c = -90
k = 0.168

W ( t ) = 100 * e^(0.168*t) - 90

Eine Probe ergibt : die angegebenen Ausgangspunkte stimmen überein.

Dann stimmt aber leider nichts mehr.

Comments

Asymptote gehört zu c  !

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W ( t ) = a * e^(k*t) + c
a * e^(k*t) + c = 100
t geht gegen unendlich

Die e Funktion ergbit immer einen positiven Wert.
Wieso ergibt sich c = 100 ?

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a ist negativ.