Beweis Determinante und Spur

Question

Ich verstehe das mit der Spur nicht so richtig. Hat jemand eine Idee?

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Gegeben sei eine beliebige $2 \times 2$-Matrix
$A=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) \in \mathbb{C}^{2 \times 2}$
Die Spur einer solchen Matrix ist definiert $\operatorname{durch} \operatorname{Spur}(A):=a+d$.
(a) Zeigen Sie, dass
$\operatorname{det}\left(A-\lambda E_{2}\right)=\lambda^{2}-\lambda \operatorname{Spur}(A)+\operatorname{det}(A)$
für alle $\lambda \in \mathbb{C}$ gilt.
(b) Zeigen Sie, dass
$\operatorname{det}(A+B)=\operatorname{det}(A)+\operatorname{det}(B)+\operatorname{Spur}\left(B A^{\#}\right)$
für alle Matrizen $A, B \in \mathbb{C}^{2 \times 2}$ gilt, wobei $A^{\#}=\left(\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right)$ für $A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ ist.

Comments

Das ist doch eine reine Rechenaufgabe!?

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Hast du vielleicht einen Ansatz für mich? Ich weiss  nicht wie ich das genau berechnen soll

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Indem du einfach ausrechnest und die Ergebnisse vergleichst.

Answer 1

Einfach die Definition benutzen und ausrechnen:

$\operatorname{det}\left(A-\lambda E_{2}\right)$

$= \operatorname{det}\left(\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) -\lambda E_{2}\right)$

$= \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \end{array}\right)$

$= (a-\lambda)\cdot(d-\lambda) - b \cdot c = \lambda^2 -a\lambda-d\lambda+ a \cdot d - b \cdot c$

$= (a-\lambda)\cdot(d-\lambda) - b \cdot c = \lambda^2 -(a+d)\lambda+ a \cdot d - b \cdot c$

$= (a-\lambda)\cdot(d-\lambda) - b \cdot c = \lambda^2 -\lambda\cdot Spur(A)+ det(A)$