Bestimmen Sie eine Basis von Kern (∇)

Question

Sei V= ℝ[x]<n

Sei ∇: V → V ,. p(x) ↦ p'(x)

Bestimmen Sie eine Basis von Kern (∇)

Wie geht das ? Was bedeutet überhaupt p'(x)?

Ich hab leider gar keine Ahnung wie ich hier eine Basis bestimmen soll

Comments

Wenn weiter nichts erklärt ist, würde ich vermuten dass p'(x) die Ableitung bezeichnet

Answer 1

Aloha :)

Wir haben es mit dem Vektorraum $V$ der Polynome bis zum Grad $(n-1)$ zu tun:$$p(x)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k x^k=a_0+a_1\cdot x+a_2\cdot x^2+\cdots+a_{n-1}\cdot x^{n-1}$$Die Abbildungsvorschrift ist das Bilden der Ableitung:$$\nabla\colon p(x)\mapsto p'(x)=\sum\limits_{k=1}^{n-1}ka_k\,x^{k-1}=a_1+2a_2\cdot x+3a_3\cdot x^2+\cdots+(n-1)a_{n-1}\cdot x^{n-2}$$

Die einzigen Polynome, die auf $0$ abgebildet werden, sind diejenigen, für die alle $a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}$ gemeinsam verschwinden. Daher sind genau alle Polynome der Form $p(x)=a_0$ Elemente des Kerns. Eine Basis des Kerns ist also:$$\operatorname{kernel}(\nabla)=(1;\underbrace{0\,;0\,;\cdots;0}_{\text{(n-1) Nullen}})^T$$