Konvergenz von Summe k=0 bis unendlich (k^4/3^k)

Question

Wie kann ich diese Folge

\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{k^{4}}{3^{k}} \)

auf Konvergenz untersuchen?

Answer 1

Hi,

nutze das Quotientenkriterium:

Es muss sein \(\frac{a_{k+1}}{a_k}<1\), dann ist das ganze konvergent.

Also:

$$\lim\frac{\frac{(k+1)^4}{3^{k+1}}}{\frac{k^4}{3^k}} = \lim\frac{(k+1)^4}{3k^4} = 1/3 < 1$$

Ist also tatsächlich konvergent.

Grüße

Answer 2

Z.B. mit dem Quotientenkriterium. Für alle \(k\geq1\) gilt$$\small\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{(k+1)^4}{3^{k+1}}\cdot\frac{3^k}{k^4}=\frac13\cdot\left(1+\frac1k\right)^4=\frac13\cdot\left(1+\frac4k+\frac6{k^2}+\frac4{k^3}+\frac1{k^4}\right)$$$$<\frac13\left(1+4\cdot\frac6k\right)<\frac23\text{ für alle }k>24.$$Daraus folgt Konvergenz.

Answer 3

Wurzel-Kriterium (falls bekannt):

\(\lim \sup\sqrt[k]{\frac{k^4}{3^{k}}}=\lim \sup\frac{\sqrt[k]{k}^{4}}{3}=\frac{1}{3}<1\)

also konvergiert die Reihe absolut