Ableitung von Exponentialfunktion vereinfachen

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie die Lösung

1)  e^x= 2

2)  e^0,5=3

(Könnt ihr das Ergebnis dieser Aufgabe und den Weg zum Ergebnis erklären? Danke)

Answer 1

Es gilt

(1)        $\ln \left(\mathrm{e}^x\right) = x$

für jedes reelle Zahl $x$.

Die Funktion $\ln$ heißt natürlicher Logarithmus. Sie ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.

e^x= 2

Auf beiden Seiten $\ln$ anwenden ergibt

        $\ln \left(\mathrm{e}^x\right) = \ln \left(2\right)$.

Wegen (1) lässt sich die linke Seite dieser Gleichung vereinfachen zu $x$. Also ist

$x = \ln \left(2\right)$.

e^0,5=3

Diese Gleichung ist ungültig.

Comments

Dankeschön. Darf ich fragen, warum sie als ungültig gilt?

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Es gilt $\mathrm{e} < 3$. Also ist auch $\mathrm{e}^{0,5} = \sqrt{\mathrm{e}} < 3$

Somit steht auf der linken Seite der Gleichung $\mathrm{e}^{0,5}=3$ ein anderer Wert als auf der rechten Seite.

Gleichungen bei denen auf der einen Seite ein anderer Wert als auf der anderen Seite steht nennt man ungültig.

Answer 2

Frage
Ableitung von Exponentialfunktionen vereinfachen
Was hat das mit den Aufgaben zu tun ?

1)  e^x= 2  | ln
ln(e^x) = ln(2)
x = ln(2);

2)  e^0,5 = 3
1.649 = 3
falsch

Answer 3

Heißt die Aufgabe womöglich $e^{0,5x}$=3?

0,5x*ln e=ln 3      ln e=1

0,5x=ln 3 

x=$\frac{ln 3}{0,5}$  = 2ln 3