Ableitungsbedingung, Warum x soll positiv sein?

Question

Aufgabe:

Finden Sie die Ableitung von  $h(x) = ln(1 + x^x ) (x > 0)$

Problem/Ansatz:

Die loesung ist: $\frac{x^x(1+ln(x))}{x^x+1}$

aber ich mochte wissen, warun auf der Aufgabe steht, dass x positive sein sollte ?

nur weil der Nenner nicht null sein darf ? oder gibt es einen anderen Grund ?

Answer 1

Aloha :)

Für $x>0$ und $r\in\mathbb R$ gilt die Definition: $x^r\coloneqq e^{r\cdot\ln(x)}$.

Für $x<0$ kann man in $\mathbb R$ nur Potenzen mit rationalen Exponenten definieren, deren gekürzte Bruchdarstellung ungerade Nenner haben. Da hier aber $x\in\mathbb R$ auch als Exponent vorkommt, trifft diese Einschränkung nicht zu.

Für $x=0$ bekommst du $0^0$, was nicht definiert ist, vgl. dazu: https://www.wolframalpha.com/input?i=0%5E0

Also muss $x>0$ sein.