Ableitungsbedingung, Warum x soll positiv sein?

Question

Aufgabe:

Finden Sie die Ableitung von  \( h(x) = ln(1 + x^x ) (x > 0)\)

Problem/Ansatz:

Die loesung ist: \( \frac{x^x(1+ln(x))}{x^x+1} \)

aber ich mochte wissen, warun auf der Aufgabe steht, dass x positive sein sollte ?

nur weil der Nenner nicht null sein darf ? oder gibt es einen anderen Grund ?

Answer 1

Aloha :)

Für \(x>0\) und \(r\in\mathbb R\) gilt die Definition: \(x^r\coloneqq e^{r\cdot\ln(x)}\).

Für \(x<0\) kann man in \(\mathbb R\) nur Potenzen mit rationalen Exponenten definieren, deren gekürzte Bruchdarstellung ungerade Nenner haben. Da hier aber \(x\in\mathbb R\) auch als Exponent vorkommt, trifft diese Einschränkung nicht zu.

Für \(x=0\) bekommst du \(0^0\), was nicht definiert ist, vgl. dazu: https://www.wolframalpha.com/input?i=0%5E0

Also muss \(x>0\) sein.