Beweisen Sie, dass die komplexe Konjugation L auf sich abbildet und deshalb einen Automorphismus von L definiert.

Question

Aufgabe:

Sei L ein Teilkörper von C, der eine Galoiserweiterung vonQ ist. Beweisen Sie, dass die komplexe Konjugation L auf sich abbildet und deshalb einen Automorphismus von L definiert.

Habe schon gezeigt, dass es ein Homomorphismus ist, die bijektivität fällt mir aber etwas schwer, kann mir jemand helfen?

Comments

Sei \(\sigma(z)=\overline{z}\). Das ist wegen

\(\sigma\circ \sigma=id\) natürlich ein Isomorphismus.

Das ist hier auch nicht das eigentliche Problem.

Dies besteht darin zu zeigen, dass \(\sigma(L)=L\) ist,

dass also \(L\) mit dem konjugierten Körper \(\sigma(L)\)

übereinstimmt.

Dazu reicht es, \(\sigma(L)\subseteq L\) zu begründen.