Untersuchen Sie die Funktion f : R → R, auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Question

ich habe folgende Aufgabe gegeben:

f(x) = x*sin(1/x) für X ≠ 0

f(x) = 0  für x = 0

Untersuchen Sie die Funktion f : R → R,  auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit in jedem Punkt ihres Definitionsbereichs. Berechnen Siedie Ableitung von f in jedem Punkt, in dem sie existiert.

Meine Loesung:

Stetigkeit:

stetig ja, ich benutzt epsilon-delte-kriterium habe, mit delta = epsilon/2 und gezeigt: |x|*|sin(1/x)| <= |x| < delte = epsilon/2 < epsilon

Differenzierbarkeit:

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ =  $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x.sin(\frac{1}{x})-f(0*\frac{1}{0})}{x-0}$ <--- existert nicht, deswegen ist es nicht differenzierbar.

ableitung von 0 ist 0

Ist meine loesung korrekt?

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten die Funktion$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x\cdot\sin\frac1x & \text{für }x\ne0\\0 & \text{für }x=0\end{array}\right.$$Die Funktion ist stetig auf ganz $\mathbb R$. Insbesondere sind an der kritischen Stelle $x_0=0$ der links- und der rechtsseitige Grenzwert gleich dem Funktionswert $f(0)=0$:$$\left|\sin\frac1x\right|\le1\implies\left|x\sin\frac1x\right|\le|x|\implies0\le\lim\limits_{x\to0}\left|x\sin\frac1x\right|\le\lim\limits_{x\to0}\left|x\right|=0$$

Die Funktion ist allerdings nur in $\mathbb R^{\ne0}$ differenzierbar, weil schon der rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten für $x\to0$ nicht existiert:$$\lim\limits_{x\searrow0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\searrow0}\frac{x\cdot\sin\frac1x-0}{x-0}=\lim\limits_{x\searrow0}\frac{x\cdot\sin\frac1x}{x}=\lim\limits_{x\searrow0}\left(\sin\frac1x\right)\to\text{nicht definiert}$$

Daher kann ich deine Ergebnisse bestätigen.

Answer 2

f(x) = x*sin(1/x) für X ≠ 0
f(x) = 0  für x = 0

Stetigkeit
lim x -> 0
1 / 0 = ∞
∞ ist keine Stelle auf dem Zahlenstrahl

sin ( ∞ ) osziliert zwischen -1 und 1
0 * ( -1..1 ) = 0

Die Stetigkeit ist bewiesen

Differenzierbarkeit
f(x) = x*sin(1/x) für X ≠ 0
f ´( x ) = sin(1/x) - cos(1/x) / x

lim x -> 0
nicht definiert