Zeige Rang(A) = Rang(B) => Es gibt S,T mit A = SBT

Question

Gegeben ist die Relation:
A~B <=> ∃ S ∈ GL_n(ℝ) , T ∈ GL_m(ℝ) mit A = SBT
A,B ∈ ℝ^nxm

Gezeigt habe ich bereits, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt.
Weiter möchte ich zeigen, dass A~B genau dann gilt wenn rang(A) = rang(B) gilt.

Mit dem Rangungleichungen von Sylvester konnte ich bereits zeigen, dass aus der Relation die Gleichheit des Ranges folgt.
Die Rückrichtung bereitet mir jedoch Schwierigkeiten.

Hätte jemand da vielleicht eine Idee oder Ansatz, den man dafür benutzen kann?

Answer 1

Zu A und B gehören die linearen Abbildungen f und g.

Wenn A und B den gleichen Rang haben, dann folgt

dim (Bild(f)) = dim( Bild(g)).

Zwei glelchdimensionale Unterräume von ℝ^n sind isomorph,

Unter dieser Isomorphismus lässt sich zu einem Isomorphismus

i:   ℝ^n →  ℝ^n  fortsetzen, dessen Matrix ist S∈GL_n(ℝ).

Nun sind aber  das f-Urbilder von Bild(f) und

das g-Urbild von Bild(g) gleichdimensionale Unterräume von R^m.

Also gibt es auch hier einen Isomorphismus zwischen den beiden,

der sich zu einem von R^m nach R^m fortsetzen lässt, dessen Matrix T

ist. Dann gilt für alle x∈ℝ^m    A*(T*x))  =  B*x

Die Ergebnisse sind in Bild(f))  bzw.  Bild(g)  und damit gilt

                                         S* A*(T*x))  =  B*x

also SAT = B, bzw. mit den Inversen auch s^-1 * B * T^-1 = A.

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Antwort :)