Trigonometrische Form eines Arguments

Question

Aufgabe:

(1) Bestimmen Sie den Betrag und das Argument von z=i+1

Betrag von |z| = 

Argument von φ =            grad

(2) Es sei z=8•e^i•90grad gegeben. Bestimmen Sie \( \sqrt[3]{z} \) . Geben Sie Lösungen in trigonometrische Form an

Hinweis: Die Lösungen für die Winkel sind in Gradmaß anzugeben.

Problem/Ansatz:

Das Thema ist ebenso ein schwarzes Tuch und vielleicht kann mir hier über eine Erklärung/Stüzen geholfen werden, damit ich so eine Aufgabe in der Prüfung lösen kann.

Answer 1

(1)  Zeichne i+1 in ein Koordinatensystem ein:

Pfeil von (0;0) nach (1;1) .

Betrag ist die Länge, hier also √2

und Argument der Winkel zur positiven x-Achse also hier 45°

(2)  z=8+e^i•90grad oder ist das z=8*e^i•90grad ?

Comments

Hey, vielen Dank für die schnelle Hilfe! Tatsächlich ist z=8*ei•90grad - sorry!

Wir haben in den Tutorien nie etwas gezeichnet bei der Aufgabe, sondern immer nur umgestellt. In der Beispielaufgabe ist folgende Form immer vorgegeben und wir müssen das Ergebnis eintragen. Ps.: Ich will gerne verstehen wie ich zum Ergebnis komme.

z₀= ... • (cos(... grad) + i • sin(... grad))

z₁= ... • (cos(... grad) + i • sin(... grad))

z₂= ... • (cos(... grad) + i • sin(... grad))

Die "..." sind die Platzhalter für das Ergebnis und es wird kein Koordinatensystem vorgegeben.

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Das koordinatensystem steckt dahinter.

Es gibt die Achse für die Real- und für die Imaginärteile.

Es geht auch einfach nur rechnerisch über

a*e^(i*φ) = a* ( cos(φ) + i*sin(φ))

Dann hast du bei der ersten:

1+i = √2 * ( cos(φ) + i*sin(φ))

 = √2 * ( 1/√2  + i * 1/√2 )

     = √2 * ( cos(45°)   + i *sin(45°)  )

Und bei dem zweiten

z=8*e^i•90grad  = 8* ( cos(90°) + i*sin(90°) )

                   = 8* ( 0 + i*1 )

                    = 8 i

Answer 2

Hallo,

zeichne in ein Achsenkreuz den Punkt (1|1) ein. Verbinde ihn mit dem Ursprung. Welcher Winkel wird mit der positiven Achse eingeschlossen?

Verbinde nun (1|1) mit (1|0). Du erhältst ein rechtwinkliges Dreieck.

Den Betrag erhältst du, indem du den Satz des Pythagoras auf das Dreieck anwendest.

Comments

Ich wollte es jetzt nicht zweimal posten aber ich hab unter der Antwort von mathef noch etwas hinzugefügt.

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Merkwürdig, dass ihr nichts gezeichnet habt. Mit der Gauß'schen Zahlenebene ist doch alles viel einfacher zu verstehen.