Kreuzprodukt aus R^5 Vektoren

Question

Bestimmen sie (v1×v2×v3×v4)·v5!

\( \vec{v}_{1}=\left(\begin{array}{c}{7 \sqrt{3}} \\ {5} \\ {3} \\ {2} \\ {5}\end{array}\right), \vec{v}_{2}=\left(\begin{array}{c}{-3 \sqrt{3}} \\ {-5} \\ {-2} \\ {-7} \\ {-2}\end{array}\right), \vec{v}_{3}=\left(\begin{array}{c}{3 \sqrt{3}} \\ {3} \\ {7} \\ {3} \\ {3}\end{array}\right), \vec{v}_{4}=\left(\begin{array}{c}{2 \sqrt{3}} \\ {4} \\ {3} \\ {3} \\ {7}\end{array}\right), \vec{v}_{5}=13^{999} \cdot\left(\begin{array}{c}{3 \sqrt{3}} \\ {2} \\ {2} \\ {5} \\ {5}\end{array}\right) \)

Answer 1

Bei Wikipedia findet man im Kapitel "Kreuzprodukt" auch einen Abschnitt über das "Kreuzprodukt im Rⁿ".

https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt#Kreuzprodukt_im_Rn

Demgemäß gilt für die Beispielaufgabe:

$$(\vec { { v }_{ 1 } } \times \vec { { v }_{ 2 } } \times \vec { { v_{ 3 } } } \times \vec { { v }_{ 4 } } )\vec { { v }_{ 5 } }$$$$=det\begin{pmatrix} { e }_{ 1 } & 7\sqrt { 3 }  & -3\sqrt { 3 }  & 3\sqrt { 3 }  & 2\sqrt { 3 }  \\ { e }_{ 2 } & 5 & -5 & 3 & 4 \\ { e }_{ 3 } & 3 & -2 & 7 & 3 \\ { e }_{ 4 } & 2 & -7 & 3 & 3 \\ { e }_{ 5 } & 5 & -2 & 3 & 7 \end{pmatrix}13^{ 999 }\begin{pmatrix} 3\sqrt { 3 }  \\ 2 \\ 2 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix}$$$$={ \left( e_{ 1 }\left| \begin{pmatrix} 5 & -5 & 3 & 4 \\ 3 & -2 & 7 & 3 \\ 2 & -7 & 3 & 3 \\ 5 & -2 & 3 & 7 \end{pmatrix} \right| -{ e }_{ 2 }\left| \begin{pmatrix} 7\sqrt { 3 }  & -3\sqrt { 3 }  & 3\sqrt { 3 }  & 2\sqrt { 3 }  \\ 3 & -2 & 7 & 3 \\ 2 & -7 & 3 & 3 \\ 5 & -2 & 3 & 7 \end{pmatrix} \right|+{ e }_{ 3 }\left| \begin{pmatrix} 7\sqrt { 3 }  & -3\sqrt { 3 }  & 3\sqrt { 3 }  & 2\sqrt { 3 }  \\ 5 & -5 & 3 & 4 \\ 2 & -7 & 3 & 3 \\ 5 & -2 & 3 & 7 \end{pmatrix} \right|-{ e }_{ 4 }\left| \begin{pmatrix} 7\sqrt { 3 }  & -3\sqrt { 3 }  & 3\sqrt { 3 }  & 2\sqrt { 3 }  \\ 5 & -5 & 3 & 4 \\ 3 & -2 & 7 & 3 \\ 5 & -2 & 3 & 7 \end{pmatrix} \right| \\+{ e }_{ 5 }\left| \begin{pmatrix} 7\sqrt { 3 }  & -3\sqrt { 3 }  & 3\sqrt { 3 }  & 2\sqrt { 3 }  \\ 5 & -5 & 3 & 4 \\ 3 & -2 & 7 & 3 \\ 2 & -7 & 3 & 3 \end{pmatrix} \right|  \right)  }13^{ 999 }\begin{pmatrix} 3\sqrt { 3 }  \\ 2 \\ 2 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix}$$

Dabei sind die e_i die kanonischen Einheitsvektoren des R⁵ .

Vielleicht kommst du ja nun selber weiter ...?

Etwas stutzig macht mich allerdings der Faktor 13⁹⁹⁹des Vektors v₅ ...