Kostenminimum bei zwei Produktionsfaktoren

Question

Aufgabe:

Die Produktionsfunktion eines Unternehmens laute

F(x1,x2)=8x21+77x1x2+8x22,
wobei x1 und x2 die eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren A und B bezeichnen. Die Kosten der Produktionsfaktoren betragen pro Mengeneinheit 90 bzw. 84 Geldeinheiten. Vom Endprodukt sollen 7097 Mengeneinheiten gefertigt werden. Für die Produktionskosten in Abhängigkeit von den eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren A und B existiert unter dieser Nebenbedingung im ersten Quadranten genau eine lokale Extremstelle. Wie hoch sind in dieser die Kosten?

Problem/Ansatz:

Kann mir bei dieser Aufgabe eventuell jemand weiterhelfen bitte?

Vielen lieben Dank!!

Comments

Du solltest Exponenten hoch- und Indices tiefstellen...

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F(x1,x2)=8x21+77x1x2+8x22,

Wie heißt die Funktion

F(x1,x2)=8 (x1)² +77 * x1* x2 + 8(x2)²,

Answer 1

minimiere 90x₁ + 84x₂

s.t.

8x₁² + 77x₁x₂ + 8x₂² = 7097

x₁ ≥ 0

x₂ ≥ 0

Answer 2

Aloha :)

Leider hast du die Indizes und Exponenten nicht tief- bzw. hochgestellt. Meine Glaskugel sagt mir jedoch, dass die Produktionsfunktion wie folgt lautet:$$F(x;y)=8x^2+77xy+8y^2\stackrel!=7097$$Sie soll gleich $7097$ sein und liefert uns so eine konstante Nebenbedingung zur Optimierung der Kostenfunktion:$$K(x;y)=90x+84y\to\text{Minimum}$$

Nach Lagrange muss im Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Da es hier nur eine Nebenbedingung gibt, bedeutet dies:$$\operatorname{grad}K(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}F(x;y)\implies\binom{90}{84}=\lambda\binom{16x+77y}{77x+16y}$$Wir dividieren die Gleichung der ersten Koordinate durch die der zweiten Koordinate, damit der Lagrange-Multiplikator $\lambda$ wegfällt:$$\frac{90}{84}=\frac{\cancel\lambda\cdot(16x+77y)}{\cancel\lambda\cdot(77x+16y)}\implies90(77x+16y)=84(16x+77y)\implies y=\frac{931}{838}\,x$$

Diese Forderung setzen wir in die Nebenbedingung ein:$$7097=8x^2+77x\cdot\frac{931}{838}\,x+8\left(\frac{931}{838}\,x\right)^2\approx103,41953x^2\implies x\approx8,283924$$Die negative Lösung fällt weg, da eine Lösung mit $x>0$ gesucht ist.

Für das entsprechende $y$ finden wir:$$y=\frac{931}{838}\cdot8,283924\approx9,203262$$Die Kosten in diesem Extermum betragen $K_{ext}=1518,63\,\mathrm{GE}$.