Wie forme ich diese Differentialgleichung für das TdV/VdK um?

Question

Frage:

Differentialgleichung umformen?

Wie bringe ich folgende DGL:
$Y^{\prime}(t)-\frac{3}{2 t} Y(t)=-\frac{10}{\sqrt{t}}$
in die Form:
y`=f(x)*g(x)
Ergänzung nach 7 Minuten
Das ist die gesamte Aufgabe und muss mit dem TdV-Verfahren und dem VdKVerfahren gelöst werden und leider weiß ich nicht wirklich wie ich die DGL in die entsprechende Form bringen kann. Kann mir das jemand helfen? Wäre sehr nett. Danke :D
Ein Prognoseinstitut behauptet, dass sich die Entwicklung des Bruttosozialproduktes $Y$ eines Landes mit folgender Differentialgleichung beschreiben lässt:
$Y^{\prime}(t)-\frac{3}{2 t} Y(t)=-\frac{10}{\sqrt{t}}$
mit $t:$ Zeit in Jahren und $Y(t):$ Bruttosozialprodukt in Millionen $\$$
Ermitteln Sie die Funktion $Y(t)$, also das Bruttosozialprodukt in Abhängigkeit von der Zeit unter der Bedingung, dass $1980(t=1)$ das Bruttosozialprodukt 10 Millionen $\$$ betrug. Wie groß ist das prognostizierte Bruttosozialprodukt für das Jahr 2000?

Answer 1

Hallo,

falls die Aufgabe so lautet, Lösung via VdK Verfahren, mittels TdK Verfahren nicht möglich:

Es muß noch in die Lösung die AWB y(1)= 10 eingesetzt werden.

Comments

Mit TdV nicht möglich, oder?

Und mega Danke, nur kommt da nicht:

raus?

Text erkannt:

Einsetzung in die allgemeine Formel zur Lösung einer inhomogen linearen Differentialgleichung:
$Y(t)=e^{-\left(-\frac{3}{2} \ln |t|\right)}\left(c+\int e^{-\frac{3}{2} \ln (t)} \cdot\left(-\frac{10}{\sqrt{t}}\right) d t\right)$
Berechnung des Integrals:
$\begin{aligned} \int e^{-\frac{3}{2} \ln (t)} \cdot\left(-\frac{10}{\sqrt{t}}\right) d t &=\int-10 \cdot t^{-\frac{3}{2}} t^{-\frac{1}{2}} d t \\ &=\int-10 t^{-2} d t \\ &=\frac{10}{t} \end{aligned}$
Fortführung der Berechnung der Differentialgleichung:
$\begin{aligned} Y(t) &=e^{-\left(-\frac{3}{2} \ln |t|\right)}\left(c+\frac{10}{t}\right) \\ &=t^{\frac{3}{2}}\left(c+\frac{10}{t}\right) \end{aligned}$
Bestimmung der speziellen Lösung mit der Anfangsbedingung $Y(1)=10$ :
$\begin{aligned} y(1) &=10 \\ \Leftrightarrow 1^{\frac{3}{2}}\left(c+\frac{10}{1}\right) &=10 \\ \Leftrightarrow c &=0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} Y(t) &=t^{\frac{3}{2}} \frac{10}{t} \\ &=10 t^{\frac{1}{2}} \end{aligned}$

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Mit TdV nicht möglich, oder? nein

Nur kommt da nicht: 10 t^(1/2) heraus?

das ist doch aber nur die part.Lösung.

Es gilt allgemein: y=yhom. +ypar. Meine Aussage galt nur ohne die AWB.

Mit der AWB y(1)=10 stimmt Dein Ergebnis.

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das ist doch aber nur die part.Lösung.

Hier ist es die gesuchte Lösung unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung