Aloha :)
1 Fall) Voller Rang
Zuerst untersuchen wir die Fälle, für die die Matrix vollen Rang hat. Das ist genau dann der Fall, wenn ihre Determinante \(\ne0\) ist:
$$\operatorname{det}A(\lambda,\mu)=\left|\begin{array}{rrr}\lambda & 1 & 0\\0 & 1 & \mu\\1 & 0 & 1\end{array}\right|=\lambda+\mu\stackrel{!}{\ne}0$$Die Matrix hat genau dann den vollen Rang 3, wenn \(\lambda+\mu\ne0\) ist.
2 Fall) \(\;\mu=-\lambda\;\land\;\lambda\ne0\)
Die Matrix lautet nun$$A(\lambda,-\lambda)=\left(\begin{array}{rrr}\lambda & 1 & 0\\0 & 1 & -\lambda\\1 & 0 & 1\end{array}\right)$$Der mittlere Spaltenvektor hängt linear von den beiden anderen Spaltenvektoren ab:$$\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\frac1\lambda\begin{pmatrix}\lambda\\0\\1\end{pmatrix}-\frac1\lambda\begin{pmatrix}0\\-\lambda\\1\end{pmatrix}\quad;\quad\lambda\ne0$$Zustäzlich sind für diesen Fall der erste und der dritte Spaltenvektor nicht kollinear also linear unabhängig.
Für \(\mu=-\lambda\) und \(\lambda\ne0\) hat die Matrix den Rang 2.
3 Fall) \(\;\lambda=\mu=0\)
Die Matrix lautet nun$$A(0,0)=\left(\begin{array}{rrr}0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 1\end{array}\right)$$Für diesen Fall sind offensichtlich der erste und der dritte Spaltenvekor identisch bzw. linear abhängig.
Für \(\lambda=\mu=0\) hat die Matrix ebenfalls den Rang 2.
