Beweisen das es sich um eine Abbildung handelt + Beispiel (erstellen?).

Question

Hallo, kann mir jemand sagen was ich da machen müsste?

Sei f: M → N eine Abbildungen zwischen den nichtleeren Mengen M und N. Seien P(M) und P(N) die entsprechenden Potenzmengen.
Man definiert nun:
F : P(M)→P(N); U ↦ f (U)
G: P(N)→P(M); V ↦ f ^-1(V)

Handelt es sich bei F und G um Abbildungen?

Man zeige an einem einfachen Bsp. für f, dass F und G nicht invers zueinander sind.
(Anleitung: M: = {1,2}, N: ={a,b}, f(1) = f(2) = a; usw.)

Also ich habe mir schon Gedanken gemacht und G ist die Umkehrfunktion von F oder? Muss ich da auch was Konstruieren. Welches Beispiel ist gemeint? Selbst eines erstellen?

Ihr würdet mir sehr helfen. Danke!

Answer 1

Handelt es sich bei F und G um Abbildungen?

Dazu muss man bei F prüfen, ob durch die Vorgaben zu jedem

U∈P(M) , also zu jeder Teilmenge U von M genau eine

Menge in P(N) gibt, die gleich f(U) ist.

Da f auf ganz M definiert ist, gibt es zu jedem U⊆M

genau eine Bildmenge F(U) = { y∈N| ∃x∈U mit y=f(x) }

und die ist auch immer in P(N).

Bei G ist es ähnlich: Jedem V⊆N wird seine Urbildmenge

unter der Abbildung f zugeordnet. Die ist gegebenenfalls

auch leer, aber auch die leere Menge ist in P(M).

Das Beispiel wird doch durch die Anleitung gegeben:

Es ist M: = {1,2}, N: ={a,b}, f(1) = f(2) = a. b hat kein Urbild.

Dann ist z.B. F( {1} ) = {a}. Aber G( {a}) =   {1;2} also nicht gleich {1}.