Berechnen Sie das unbestimmte Integral durch geeignete Substitution

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das unbestimmte Integral durch geeignete Substitution:

$\large\int \frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x} \small \, d x$

Problem/Ansatz:

Ich lerne für eine Klausur.. wie wird das hier genau berechnet? Ich komme irgendwie nicht weiter..

Danke im voraus.

Answer 1

Die Substitutionsregel lautet
$\begin{aligned} \int \limits_{a}^{b} f(g(x)) g^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\int \limits_{g(a)}^{g(b)} f(x) \mathrm{d} x\end{aligned}$
In deinem Beispiel ist nun
$\begin{aligned} f(x)=\frac{1}{x}, \quad g(x)=\sin (x)+\cos (x)\end{aligned}$
Es ergibt sich
$\begin{aligned} \int \limits_{a}^{t} \frac{\cos (x)-\sin (x)}{\sin (x)+\cos (x)}=\int \limits_{\sin (a)+\cos (a)}^{\sin (t)+\cos (t)} \frac{1}{x} \;\mathrm{d} x=\ln (\sin (t)+\cos (t))+C .\end{aligned}$

Answer 2

Hallo,

geeignete Substitution:

z= sin(x) +cos(x)

dz/dx= cos(x) -sin(x)

dx= dz/(cos(x) -sin(x))

---->eingesetzt:

--> $\int \frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x} d x$ = ∫ $\frac{cos(x) -sin(x)}{z}$ * $\frac{dz}{cos(x) -sin(x)}$

cos(x) -sin(x)  kürzen

-------->

=∫ $\frac{dz}{z}$ = ln|z| +C

Resubstituieren

= ln| sin(x) +cos(x)|+C

Answer 3

Benutze https://www.integralrechner.de/ zur Hilfe und Selbstkontrolle

Answer 4

Aloha :)

Substitution ist für Noobs ;) Du erkennst natürlich sofort, dass der Zähler die Ableitung des Nenners ist und erinnerst dich an das Standard-Integral:$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C$$Dann schreibst du das Ergebnis direkt hin:$$\int\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}\,dx=\ln|\sin x+\cos x|+C$$