Faktorisieren Sie das Polynom so weit wie möglich

Question

Faktorisieren Sie das Polynom \( p \) so weit wie möglich, jeweils über \( \mathbb{Q}, \mathbb{R} \) und \( \mathbb{C} \), wobei
\( p(z)=z^{5}-z^{4}+6 z^{3}-6 z^{2}+16 z-16 \)

Kann mir jemand diese Aufgabe vorrechnen? Ansatz etc. habe ich bereits in der Saalübung erhalten, aber ich verstehe es einfach nicht..Dann könnte ich es auf andere ähnliche Fääle gut anwenden. Vielen Dank!

Comments

Danke für die Ansätze!! :) So ähnlich wurde es mir in der Vorlesung heute erklärt aber ich verstehe es trotzdem nicht, da ich dämlich bin.. Finde im Internet leider keine ähnlichen Aufgaben, die vorgemacht wurden, denn ich lerne es nur auf diese Weise.

Answer 1

Da z = 1 eine offensichtliche Nullstelle ist machen wir eine Polynomdivision/Horner Schema mit der Nullstelle 1.

(z^5 - z^4 + 6·z^3 - 6·z^2 + 16·z - 16 ) / (z - 1) = z^4 + 6·z^2 + 16

Wir machen eine Substitution z^2 = x und Lösen die quadratische Gleichung

z^4 + 6·z^2 + 16 = 0
x^2 + 6·x + 16 = 0 → x = -3 - √7·i ∨ x = -3 + √7·i

Resubstitution

z^2 = -3 - √7·i → z = - √2/2 + √14/2·i ∨ z = √2/2 - √14/2·i
z^2 = -3 + √7·i → z = - √2/2 - √14/2·i ∨ z = √2/2 + √14/2·i

Also

z^5 - z^4 + 6·z^3 - 6·z^2 + 16·z - 16
= (z - 1)·(z + √2/2 + √14/2·i)·(z + √2/2 - √14/2·i)·(z - √2/2 + √14/2·i)·(z - √2/2 - √14/2·i)

Comments

z4 + 6·z2 + 16 = 0
x2 + 6·x + 16 = 0 → x = -3 - √7·i ∨ x = -3 + √7·i

Stopp!

Für die gestaffelte Aufgabe ist zunächst wichtig, dass im Reellen (und damit auch im Rationalen)  x²+6x+16=0 (und damit auch z^4+6z^2+16=0) KEINE Lösung besitzt.

Die Faktorisierung hat hier also die Form f(z)=(z-1)(z^4+6z^2+16).

Fertig.

Die komplexe Faktorisierung hat der Coach dann gezeigt.

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Fertig.

Mitnichten: \(p(z)=(z-1)(z^2-\sqrt2z+4)(z^2+\sqrt2z+4)\).

Answer 2

In der Summe aus dem ersten und zweiten, dem dritten und vierten sowie dem 5. und 6. Summanden kannst du jeweils z-1 ausklammern.

Answer 3

Polynomdivision:

Ganzzahlige Teiler der Konstanten 16 suchen.

1 ist Teiler -> dividiere zunächst durch (z-1)