Stimmt der Grenzwert dieser Folge?

Question

Aufgabe:

Sei \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \subset(1, \infty) \) eine Folge mit

\( a_{n+1}=\large\frac{3 a_{n}+3}{2 a_{n}+4} \)

Problem/Ansatz:

ich habe bei dieser Folge einen Grenzwert von 0,75 herausbekommen, stimmt dieser ?

Comments

Ich habe 1 als GW.

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Ich auch ! \(\;\;\;\)

Answer 1

Aloha :)

Wenn die Folge gegen einen Grenzwert \(a\) konvergiert, dann konvergieren sowohl \((a_n)\) als auch \((a_{n+1})\) gegen diesen Grenzwert. Daher muss gelten:

$$a=\frac{3a+3}{2a+4}\implies2a^2+4a=3a+3\implies2a^2+a-3=0\implies a^2+\frac a2-\frac32=0$$Die pq-Formel liefert:$$a_{1;2}=-\frac14\pm\sqrt{\frac{1}{16}+\frac32}=-\frac14\pm\sqrt{\frac{25}{16}}=-\frac14\pm\frac54$$Weil alle \(a_n\) positiv sind, fällt die negative Lösung weg, übrig bleibt \(a=1\) als Grenzwert.

Aber Vorsicht! Diese Berechnung gilt nur, wenn du sicher bist, dass die Folge konvergiert. Wenn das aus der Aufgabenstellung nicht als bekannt vorausgestzt werden kann, musst du das noch zeigen.