0 Daumen
107 Aufrufe

Hi,


an=(\( \dfrac{1-(1-1/n)^5}{1-(1-1/n)^2} \) )

Zu dieser Folge soll ich sagen ob es einen Grenzwert gibt und wenn ja wie er lautet.

von

der Grenzwert existiert und ist Null, da der Zähler offensichtlich quadratisch schneller gegen null konvergiert als der Nenner.

Ich habe 5/2 raus.

2 Antworten

+2 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

$$a_n=\frac{1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^5}{1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^2}=\frac{1-\left(1-\frac{5}{n}+\frac{10}{n^2}-\frac{10}{n^3}+\frac{5}{n^4}-\frac{1}{n^5}\right)}{1-\left(1-\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}$$$$\phantom{a_n}=\frac{\frac{5}{n}-\frac{10}{n^2}+\frac{10}{n^3}-\frac{5}{n^4}+\frac{1}{n^5}}{\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}=\frac{5-\frac{10}{n}+\frac{10}{n^2}-\frac{5}{n^3}+\frac{1}{n^4}}{2-\frac{1}{n}}\to\frac{5}{2}$$

von 18 k

Wie kommst du auf den 1. Schritt ohne Exponenten  bei der Klammer?

Ich habe die allgemeine binomische Formel verwendet:$$(a\pm b)^5=a^5\pm5a^4b+10a^3b^2\pm10a^2b^3+5ab^4\pm b^5$$

Danke Tschakabumba. Du hilfst einem am Besten und auch so, dass man es am besten nachvollziehen kann

0 Daumen

Kann man mit l'Hospital machen in dem man \( x = 1 - \frac{1}{n} \) setzt und den Grenzwert von

$$ \lim_{x\to1} \frac{1-x^5}{1-x^2}  $$ betrachtet. Dann folgt $$ \lim_{x\to1} \frac{1-x^5}{1-x^2} = \lim_{x\to1} \frac{-5x^4}{-2x} = \lim_{x\to1} \frac{5}{2}x^3 = \frac{5}{2} $$

von 26 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...