Schwerpunkt Dreieck Vektoren

Question

Aufgabe: Schwerpunkt im Dreieck- Vektorrechnung

Text erkannt:

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a) $\quad \vec{S}=\vec{A}+\frac{1}{2}(\vec{B}-\vec{A})+\frac{1}{3}\left(c-\mu_{i}\right)$
$\begin{array}{c} M_{C}=A+\frac{1}{2}(B-A) \\ \vec{S}=\vec{A}+\frac{1}{2}(B-A)+\frac{1}{3}\left(C-\left[A+\frac{1}{2}(B-A]\right)\right. \\ =A+\frac{1}{2} B-\frac{1}{2} A+\frac{1}{3} C-\frac{1}{3} A-\frac{1}{C} D+\frac{1}{6} A \\ -\frac{1}{1} A+\frac{1}{3} A+\frac{1}{2} C \\ \vec{S}=\frac{1}{3}(A+B+C) \end{array}$

Die Verbindungsstrecke einer Ecke eines Dreiecks mit dem Mittelounkt der gegen-
überliegenden Seite heißt Seitenhalbierende. Die drei Seitenhalbierenden s,, S, und
S, eines Dreiecks ABC schneiden sich in einem Punkt S,
dem Schwerpunkt. Der Schwerpunkt S teilt die Seiten-
halbierenden im Verhältnis 2:1. D.h.: Die Strecke vom
Schwerpunkt bis zum Eckpunkt ist doppelt so lang wie
die Strecke vom Schwerpunkt bis zum Seitenmittel-
punkt.
a) Rechts ist ein Dreieck ABC mit dem Schwer-
punkt S abgebildet. Drücke den Orts-
Me
vektor S des Schwerpunkts mithilfe einer
Vektorkette durch À, B und C aus.
b) Folgere daraus: S = ; (À + B + C). Fasse das Ergebnis in Worte.
c) A (3)-2|1), B(-2|4|2) und C(2|1|3) sind die Eckpunkte eines
Dreiecks. Berechne die Koordinaten seines Schwerpunkts S.
d) Gib die Eckpunkte eines Dreiecks mit dem Schwerpunkt S(- 1|2| -3) an.

Text erkannt:

(ㄱ) (1) Der Schwerpunkt eines Dreiecks
Die Verbindungsstrecke einer Ecke eines Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite heiBt Seitenhalbierende. Die drei Seitenhalbierenden $s_{2}, s_{2}$ und $\mathrm{s}_{\mathrm{c}}$ eines Dreiecks $\mathrm{ABC}$ schneiden sich in einem Punkt $\mathrm{S}$, dem Schwerpunkt. Der Schwerpunkt $S$ teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis $2: 1$. D. h.: Die Strecke vom Schwerpunkt bis zum Eckpunkt ist doppelt so lang wie die Strecke vom Schwerpunkt bis zum Seitenmittelpunkt.
a) Rechts ist ein Dreieck ABC mit dem Schwerpunkt S abgebildet. Drücke den Ortsvektor $\vec{S}$ des Schwerpunkts mithilfe einer Vektorkette durch $\vec{A}, \vec{B}$ und $\vec{C}$ aus.
b) Folgere daraus: $\vec{S}=\frac{1}{3}(\vec{A}+\vec{B}+\vec{C})$. Fasse das Ergebnis in Worte.
c) $A(3|-2| 1), B(-2|4| 2)$ und $C(2|1| 3)$ sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Berechne die Koordinaten seines Schwerpunkts S.
d) Gib die Eckpunkte eines Dreiecks mit dem Schwerpunkt $S(-1|2|-3)$ an.

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits einen Ansatz für die a, bin mir aber nicht sicher ob dieser richtig ist (ich habe hier keine Pfeile über die Vektoren geschrieben):

S=A+1/2(B-A)+1/3(C-Mc)

Mc=A+1/2(B-A)

S=A+1/2(B-A)+1/3(C-(A+1/2(B-A))

=A+1/2B-1/2A+1/3C-1/3A-1/6B+1/6A

=1/3A+1/3B+1/3C

S=1/3(A+B+C)

Zudem wäre es super, wenn mir jemand die anderen Aufgaben auch noch einmal verständlich erklären könnte

(Anbei eine Skizze des Dreiecks wie sie im Buch steht)

Answer 1

Hallo

deine Herleitung für a und B ist richtig, bei c musst du ja dann nur b) einsetzen. und d) fang am besten mit einem einfachen Punkt wie (0,0) an  dann hast du (b1+c1)/3=-1 , (b2+c2)/3=2 und (= b3+c3)/3=-3  kannst also auch noch B oder C frei wählen  und den dritten Punkt bestimmen.

Gruß lul

Comments

Vielen Dank für die Antwort.

Könnte ich bei der d) auch einfach 3 zufällige Punkte nehmen. Ich hab halt folgend umgeformt:

S= 1/3*(A+B+C)      | *3

S*3= A+B+C

3*(-1/2/3)= A+B+C

3*(-1/2/3)= (-4/3/-6)+(2/2/-2)+(-1/1/-1)

Also im Endeffekt habe ich völlig zufällige Punkte gewählt. Ist das so auch richtig?