Symmetrie der Funktion f(x)=2^x - 0,5^x berechnen?

Question

Aufgabe:

Symmetrie von f(x)=2^x - 0,5^x berechnen

Problem/Ansatz:

f(-x)=-f(x), wenn ich die Symmetrie dieser Funktion berechne komme ich nicht auf das Ergebnis, dass sie punktsymmetrisch ist. Vielleicht mache ich einen Fehler bei der zusammenfassung, kann mir bitte jemand mal seinen Rechenweg zeigen? :)

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$f(-x)=2^{-x}-0,5^{-x}=2^{-x}-\left(\frac12\right)^{-x}=\frac{2^{-x}}{1}-\frac{1}{2^{-x}}$$Ein Faktor springt über den Bruchstrich, indem sein Exponent das Vorzeichen wechselt:$$\phantom{f(-x)}=\frac{1}{2^x}-\frac{2^x}{1}=-\left(\frac{2^x}{1}-\frac{1}{2^x}\right)=-\left(2^x-\left(\frac12\right)^x\right)=-\left(2^x-0,5^x\right)=-f(x)$$

Die Funktion ist also punktsymmetrisch zum Ursprung.

~plot~ 2^(x)-0.5^x ; [[-4|4|-10|10]] ~plot~

Comments

Danke, das hat mir weitergeholfen:)

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$$\frac{1}{2^x}=\frac{1^x}{2^x}=\left(\frac12\right)^x$$

Answer 2

f(-x) = 2^-x -0,5^-x = 1/2^x- (1/2)^-x = 0,5^x - 2^x = -(2^x - 0,5^x) = -(f(x)

Answer 3

$$f(x) = 2^x - 0.5^x = 2^x - \frac{1}{2}^x = 2^x - 2^{-x} \newline f(-x) = 2^{-x} - 2^{x} = -(2^x - 2^{-x}) = -f(x) ~~~\rightarrow ~~~ \text{Punktsymmetrie zum Ursprung}$$