Gesucht ist f‘(x)=-f(x), wobei f(0)=5

Question

Aufgabe: gesucht ist eine Funktion, deren erste Ableitung f‘(x) = -f(x) für jedes xeR und deren f(0)=5

Problem/Ansatz: da f(0)=5 gehe ich davon aus, dass es sich um eine Funktion wie x^2+5 handelt, die ableitung ist aber 2x+5 und ungleich -f(x). Vielleicht ist da ein logarithmus drin aber ich stecke total fest.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$\left.f'(x)=-f(x)\quad\right|\colon f(x)$$$$\left.\frac{f'(x)}{f(x)}=-1\quad\right|\text{links und rechts integrieren}$$$$\left.\ln|f(x)|=-x+C\quad\right|e^{\cdots}$$$$\left.f(x)=e^{-x+C}=e^{-x}\cdot e^C\quad\right.$$Nun setzen wir die Randbedingung \(f(0)=5\) ein:$$5\stackrel!=f(0)=e^0\cdot e^C\implies e^C=5$$Damit haben wir die Funktion gefunden:$$f(x)=5\cdot e^{-x}$$

Comments

Toll, Tschaka!

Tschaka knackt auch diese Nuss,

wäre er ne Frau, gäbs nen dicken Kuss! :)